2018高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习课件第三章导数及其应用18.pptVIP

已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞0)．若f(x)的单调减区间是(0，4)，则k的值是________． 【解析】由f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x＜0的解集为(0，4)，得k＝1. 变式2 1 已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1) 求f(x)的单调区间． (2) 若f(x)在定义域R上单调递增，求实数a的取值范围． (3) 是否存在实数a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【思维引导】通过对f′(x)的正、负号的讨论得到f(x)的单调区间．若函数在某个区间上单调，则其导函数在这个区间上大于等于零或小于等于零恒成立． 备用例题 【解答】由题意知，f′(x)＝ex－a，x∈R. (1) 若a≤0，则f′(x)＝ex－a0恒成立，此时f(x)在R上单调递增． 若a0，则由ex－a0，得xlna， 此时f(x)的单调增区间为(lna，＋∞)； 由ex－a0，得xlna， 此时f(x)的单调减区间为(－∞，lna)． 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调增区间为R；当a0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)，单调减区间为(－∞，lna)． (2) 因为f(x)在R上单调递增， 所以f′(x)≥0在R上恒成立， 所以ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立， 所以a≤(ex)min. 又因为ex0，所以a≤0， 所以实数a的取值范围为(－∞，0]． (3) 方法一：由题意知ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立，所以a≥ex在(－∞，0]上恒成立． 因为y＝ex在(－∞，0]上为增函数，所以当x＝0时，ex取得最大值1，所以a≥1. 同理可知ex－a≥0在[0，＋∞)上恒成立?a≤1. 综上，a＝1. 方法二：假设存在符合条件的实数a，则x＝0为f(x)的唯一极小值点，所以f′(0)＝0， 即e0－a＝0，所以a＝1.经验证a＝1满足条件． 【精要点评】通过解不等式f′(x)0(或f′(x)0)来确定函数的单调增(或减)区间，注意对参数的讨论；反之，若函数f(x)在某个区间上单调递增(或减)，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在这个区间上恒成立，从而求出参数的值或取值范围． 课 堂 评 价 1. (2015·南昌模考)函数f(x)＝ln x＋x2－3x的单调减区间为________． 2. 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是________． [1，＋∞) 3. 已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1) 若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值； (2) 求函数f(x)的单调区间． (2) f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a＜0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a＞0，则当x∈(－∞，－a)时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a)上单调递增；当x∈(－a，0)时，f′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a，0)上单调递减． 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，0)，(0，a)． (2) 因为f(x)为奇函数， ②当a＝0时，f(x)＝2x－1＞－1＝a－1对一切x＞0恒成立，故a＝0满足题设要求． ③当a＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数． 所以f(x)min＝f(a)＝3a－1＞a－1，所以a＞0时也满足题设要求． 综上，a的取值范围是[0，＋∞)． 第18课　利用导数研究函数的单调性 课 前 热 身 1.(选修22P28例1改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为__________． 【解析】f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间． 激活思维 (－1，11) 2.(选修22P29练习4(1)改编)函数y＝xln x的单调减区间为________． 3.(选修11P74练习2改编)若函数f(x)＝x3＋ax－2在R上是增函数，则实数a的取值范围是___________． 【解析】f′(x)＝3x2＋a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)≥0恒成立，所以a≥0. [0，＋∞) 4.(选修11P87练习3改编)若函数f(x)＝ex－ax在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________． 【解析】由f′(x)＝ex－a0，得aex.若函数在(1，＋