9-1--数项级数的概念与基本性质.pptVIP

无穷级数 一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、等比级数 四、无穷级数的基本性质 五、小结 解 证明 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 2.如果级数的一般项趋于零,则级数可能收敛，也可能发散. 第9章 无穷级数 9.1 数项级数的概念与基本性质 一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、等比级数 四、无穷级数的基本性质 五、小结 9.1 常数项级数的概念 我们在前面所学的定积分，所表达的是一类和式极限。 有限和的极限实际上是无穷多个数相加之和，所谓和式极限存在是指无穷多项相加之和是一个有限数。 下面我们将专门研究无穷和的问题，并把无穷多个数相加的式子称为无穷级数，简称级数。 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 边形的面积 “一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，如果把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒长之和为： 此时上式中的加项无穷增多，成为无穷多个数相加的式子，这就是级数。 2. 计算棒长 显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值愈接近于1；当 时， 的极限为1。 1. 定义 无穷级数 一般项 数列 一般项 部分和数列 部分和 2. 级数的收敛与发散 借助于此，我们可以研究级数的敛散性，即级 数的收敛与发散是由部分和数列的收敛与发散 定义的，级数的收敛与发散与部分和数列的敛 散性有一一对应关系. 无穷级数 收敛 无穷级数 发散 收敛级数 的和 部分和数列收敛，极限 叫做级数 的和 并写成 解 故所给算术级数是发散的 证明一 证明二 证明三 反证法 1.等比级数（几何级数）定义 其中 叫做公比. 2.等比级数（几何级数）敛散性定理 收敛 发散 发散 发散 综上 结论: 级数中去掉或加上有限项后敛散性不变. 余项级数 例如:1.级数 2.级数 发散 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 问题:1.级数一个收敛一个发散能否得出肯定结论？ 2.两个级数都发散能否得出肯定结论？ （1.发散；2.不一定.) 解 证明 注意 1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 3.正项级数 加括弧与去括弧均不 影响其敛散性. * * * *