CH1-3-4模糊集的T模与分解定理.pptVIP

* 第3-4节 T-模与分解定理 * 一、三角模 的概念 本节是对模糊集运算进行拓广, 就是将模糊集的并、交运算拓广到一般的T-模、S-模。 1、 T-模或T-范数或三角交 1）. 从C. Elkan的西瓜问题谈起 考虑一堆西瓜, 定义西瓜为“里红且外绿”的水果, 这里“红”与“绿”是模糊概念, 从而这里的“西瓜”也是一个模糊概念。假设某水果里红的程度是0.5, 外绿的程度是0.8. 它隶属于西瓜的程度如何? * 如果使用前述模糊集的交运算之定义, 则这个水果属于“西瓜”的程度为0.5∧0.8=0.5. 然而, 就直观的感觉而言, 里红和外绿对于成为一个西瓜来说应该是互相加强的“证据单元”, 因此这个水果隶属于“西瓜”的程度大于0.5才合理。 当取两个模糊集的交集时, 可能希望较大的模糊集对结果产生影响, 但如果模糊交集选用min, 则可能较大的模糊集无法产生影响。 * 关于上述“西瓜问题”, 吴望名教授做了如下论述：因为客观世界现象错综复杂，“交”算子的选取也应具体问题具体分析。C.Elkan所举西瓜“证据强度”的例子说明min算子用此例不合适, 但不能说采用别的算子就一定不合适。目前“交”算子除采用min外, 还可以用有界积、乘积、各种T-模算子、一致T-模算子、广义模算子等等。min算子作为“交”算子可用于许多论域, 但当然不是所有论域, 其它的“交”算子在一定条件下适用于一定的实际问题, 数学的高度抽象性和客观世界的复杂多样性从来就是相辅相成的。因此对模糊逻辑算子的否定是站不住脚的. * T-模(triangular norm, 又称为三角模或T-范数)首先出现在K.Menger于1942年发表的论文“Statistical metrics”(统计度量)中, 在这里, T-模是作为经典度量空间中三角不等式的自然推广而提出的。上世纪60年代，B.Schweizer和A.Sklar重新严格定义了T-模(即现在通用的定义)和统计度量空间(现称为概率度量空间), 从而导致了这个领域的飞速发展。由于T-模较好地反映了“逻辑与”的性质, 因此T-模作为一般的“模糊与”算子一致受到模糊逻辑学界的青睐。 * 关于T-模及其在模糊逻辑中的应用, 澳大利亚学者E.P.Klement, 捷克学者R.Mesiar, 南斯拉夫学者E.Pap在专著Triangular Norms (Kluwer Academic Publicashers, 2000)中进行了全面总结。事实上, 除了概率度量空间和模糊逻辑外, T-模还应用于决策支持、函数方程、测度理论、博弈理论等许多领域. * 2）. T-模的定义 定义1 T-模是单位区间[0, 1]上的二元函数T, 它满足交换律、结合律、单调性且带有单位元1. 即函数T: [0,1]?[0,1]?[0,1]满足以下条件 (?x, y, z?[0,1]): (1) T(x, y)=T(y, x), (2) T(x, T(y, z))=T(T(x, y), z), (3) 当y?z时, 有T(x, y)?T(x, z), (4) T(x, 1)=x，T(x, 0)=0, ?x?[0,1]. 常用?表示T, 并将T(x, y)记为x?y. * 以下各式定义的?都是T-模: (1) x?y=min(x, y). (取小算子或G?del T-模) (2) x?y=xy. (积算子或乘积 T-模) (3) x?y=max(x+y?1, 0). (Lukasiewicz T-模) (4) 当x, y至少有一个是1时x?y取最小者, 否则, x?y=0. (5) R0 T-模(王国俊) * 2、 S-模(T-余模)的概念 定义2 S-模(三角余模或T-余模)是单位区间[0, 1]上的二元函数S, 它满足交换律、结合律、单调性且带有单位元0. 即函数S: [0,1]?[0,1]?[0,1]满足以下条件 (?x, y, z?[0,1]): (1) S(x, y)=S(y, x), (2) S(x, S(y, z))=S(S(x, y), z), (3) 当y?z时, 有S(x, y)?S(x, z), (4) S(x, 0)=x，S(x, 1)=1, ?x?[0,1]. 常用?表示S, 并将S(x, y)记为x?y. * 以下各式定义的?都是S-模: (1) x?y=max(x, y). (2) x?y=x+y?xy. (概率和) (3) x ? y=min(x+y, 1).