chap7非线性规划的基本概念和基本原理.pptVIP

一、数学模型 例 某单位拟建一排 厂房，厂房建筑平面如图 所示。由于资金及材料的 限制，围墙及隔墙的总长 度不能超过80米。为使建 筑面积最大，应如何选择 长宽尺寸？ 例 设某物理过程具有如下规律 用试验法 。 现要确定参数 使所得试验点构成的曲线与理论曲线误差平方和为最小，且满足 非负。 非线性规划： 目标函数或（和）约束条件为非线性函数 的规划。 二、基本概念 1、全局极值和局部极值 ?2f(X)是对称矩阵。（ f(X)二阶偏导数连续时，混合偏导数和取导数的顺序无关） f(X)是二次函数，则可写成 f(X)＝1/2XTAX+BTX+C 则 ?2f(X)＝A （与X的位置无关） 例：判定正定性 例：判定正定性 作业： P189 4.4（1） 7.2 无约束问题的极值条件 例 求解如下非线性规划问题 分析： 7.3 凸函数与凸规划 一、凸函数的定义 如果 - f(X)为R上的(严格)凸函数,则f(X)为R上的(严格) 凹函数. 三、凸函数的判别 例 作业： P189 4.6（1）（2） 四、凸规划 下述问题为凸规划. 性质： 1、凸规划的局部极小点就是全局极小点。 2、极小点的集合是凸集。 3、若目标函数为严格凸函数，若存在极小点，则极小点必定唯一。 凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非线性规划。 例 如下非线性规划是否为凸规划： 的海赛矩阵： 如图所示，该问题最优解（最小点） 在C点取得。 定理6（充要条件）： 若 是二阶连续可微的凸函数， 则 是全局极小点 。 类似地，若 二阶连续可微的严格凸函数， 则 是惟一全局极小点。 7.4 下降迭代算法 下降迭代算法步骤： 定理： 设f(x)具有连续一阶偏导数， 按以下规则产生： 几种终止迭代的准则： H(X) =?xxf(X)= 各阶主子式：-20, =40 -2 0 0 -2 = - 60 -2 0 0 0 -2 1 0 1 -2 -2 0 0 0 -2 1 0 1 -2 H(X)负定， f(X) 是凹函数X*=(1/2,2/3,4/3)为极大值点。 f(X*)= f(1/2,2/3,4/3)=19/12 算法概述 一个算法（Algorithm)就是一种求解方法，它可看作为一个循环过程，按照一组指令和规定的停算准则，产生近似解序列，它应该收敛到整体最优解，但由于某些原因（不连续性、无凸性、规模大、实现方面困难等）常使得计算难以符合以上条件，往往是一个无限的过程，因而给出停算准则，如果在第k次循环时，满足停算准则条件，则停算。 评价一个算法（Algorithm)的好坏，通常注意以下几个方面： 通用性(Generality) 可求解问题的广度，越大越好。 可靠性(Reliability) 指以合理的精度，求解设计的这个算法时，针对要解决那个问题的能力。 任意给定一个算法，不难构造一个它所不能有效地求解的问题。 评价一个算法（Algorithm)的好坏，通常注意以下几个方面： 精确性(Precision) 指计算舍入误差和累进误差及可行性。 对参数和数据的灵敏性(Sensitivity) 原则：越不灵敏越好。 评价一个算法（Algorithm)的好坏，通常注意以下几个方面： 预备工作量和计算量的大小 预备工作量（如求初始可行解）及计算量。 有时预备工作量比计算量本身还大。 收敛性(Convergency) 考虑收敛速度，越快越好。 下降方向： 设 ，若存在 ，使得当 时，有 ，则称 为 在 处的下降方向。 下降迭代法的基本思想 ： 若该点的序列收敛于