专插本数学资料9——多元函数微分学.docVIP

专插本数学资料9——多元函数微分学1 内容提要 1、二元函数、多元函数的概念。 2、二元函数的极限 定义1：设函数在点的某个邻域内有定义（点可以除外）、如果当点（属于该邻域）以任意方式趋近于点时，对应的函数值趋近于一个确定的常数,则称是函数当时的极限，记作。 3、二元函数的连续性 定义2：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量从变到，从变到时，函数的相应增量为 如果当时，有，则称函数在点处连续. 全增量：称是二元函数在点处的全增量 4、偏导数和全微分 一阶偏导数： 函数在点处对的偏导数为 函数在点处对的偏导数为 5、二阶偏导数 按对变量求导的次序不同，二元函数有下列四个二阶偏导数： ， ， 其中，称为混合偏导 注：二阶偏导的求导次序 6、定理：若函数的两个二阶混合偏导数，都在点处连续，则有 7、（全微分存在的必要条件） 设函数在点处可微分，则在点处存在偏导数，，且 （全微分存在的充分条件） 设函数在点处存在连续偏导数，，则在点处可微分，且 8、偏导数的连续性、函数可微性、可偏导性与函数连续性之间的关系 9、复合函数的偏导数 9.1链式法则：设复合函数在点处有对与的连续偏导数，则 9.2、一阶全微分形式不变性 的全微分 10.隐函数的偏导数 10.1设是由方程所确定的函数. 10.2设方程.确定是，的函数，求隐函数的偏导数： 例子 【例1】求下列函数的偏导数 (1)设，求； (2) 设，求； (3) 设，求； 解 (1) ， 求时，把看做常量，是的函数，得 求时，把看做常量，是的函数，得 (2) 同(1) 可得； (3) 方法一：对求偏导数，是幂指函数求导；而对求偏导数，是指数函数的复合函数求导.由及对求偏导数时为常数，对求偏导数时为常数，有， 方法二：见书例4 【例2】设函数，求，. 解 ， ； 可知： 【例3】设函数，求. 解 ，为连续函数， 【例4】设函数，求. 解 ，为连续函数， 【例5】已知函数，且可微，求，. 解 （多元复合函数求导） 【例6】已知函数，其中，皆可微，求，. 解 （多元复合函数求导） 【例7】设二元函数，求. 解 利用全微分的四则运算与一阶全微分形式不变性直接计算 【例8】设方程，求.（隐函数的偏导数） 解 方程可以化为，令， 于是， 故 【例9】求由方程所确定的隐函数的导数，求.（隐函数的偏导数） 解 令，则 ， 故 【例10】求由方程所确定的隐函数的偏导数.（隐函数的偏导数） 解 令，则 ； 所以 ； 原式 三、 练习 1、设，则全微分 . 2、已知函数，则. 3、设，，则. 4、已知二元函数的全微分，则. 5、设，则. 6、圆在点处的切线方程是. 四、 提高 1、设，计算的值. 2、设方程所确定的隐函数，求，. 3、设隐函数由方程所确定，求和. 4、已知隐函数由方程所确定，求和. 5、已知隐函数由方程所确定，求和. 6、已知二元函数，求 第2页 专插本数学资料9：多元函数微分学1