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* §3 行列式的展开定理 * * * §2 行列式的性质与计算 §1 行列式的定义 §3 行列式展开定理、克拉默法则 第一章 行列式 一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则 引例 可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示． 一、余子式、代数余子式 定义 在 n 阶行列式 中将元素 所在的 第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置 次序构成一个 阶的行列式， 称之为元素 的余子式,记作 ． 令 称 之为元素 的代数余子式． 注： ① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式 和一个代数余子式． 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关． ② 元素 的余子式和代数余子式与　 的大小 元素除 外都为 0，则 1.引理 二 、行列式按行(列)展开法则 若n 阶行列式 D = 中的第 i 行所有 证： 先证　　　　的情形，即 由行列式的定义，有 结论成立. 一般情形： 结论成立. 2.定理 行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即 或 行列式按行（列）展开法则 证： 例1.计算行列式 解： 例2.计算n阶行列式 解： 例3.证明范德蒙行列式 证：用数学归纳法. 时， 假设对于 阶范德蒙行列式结论成立．即 结论成立． 把 从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的 　倍，得 下证对于 n 阶范德蒙行列式　 结论也成立. 范德蒙行列式 中至少两个相等． 注： 范德蒙行列式另一形式： 3.推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证 相同 ∴ 当 时, 同理可证, 综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质： 例4.计算2n阶行列式 其中未标明的元素都是0.