高二精选题库数学 课堂训练7-6北师大版.docVIP

第7章 第6节 时间：45分钟　满分：100分 一、选择题(每小题7分，共42分) 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式： (－)－； (＋)－； (－)－2； (＋)＋. 其中能够化简为向量的是(　　) A．①② 　　　　　　 B．②③ C．③④ D．①④ 答案：A 解析：(－)－＝－＝； (＋)－＝－＝； (－)－2＝－2≠； (＋)＋＝＋＝≠，综上符合题意． 2．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则可表示为(用a，b，c表示)．(　　) A.a＋b＋c B.a＋b－c C.a＋b＋c D.a－b＋c 答案：A 解析：＝＋＝＋×(＋) ＝＋×(－＋－) ＝＋＋＝a＋b＋c. 3. 设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则点A在平面BCD内的射影是三角形BCD的(　　) A．垂心 B．外心 C．内心 D．不能确定 答案：A 解析：由·＝0，·＝0得·－·＝·(－)＝·＝0，所以ACDB，同理可得ABCD，ADBC，所以A点在平面BCD内的射影是三角形BCD的垂心． 4．已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则＋(＋)等于(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 答案：A 解析：如图所示：(＋)＝，＋＝. 5. [2012·广东揭阳一模]已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a(a－λb)，则实数λ的值为(　　) A. －2 B. － C. D. 2 答案：D 解析：a－λb＝(λ－2,1－2λ，3－λ)，由a(a－λb)， 得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2. 6. [2012·海淀一模]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足M＝λ的实数λ的值有(　　)A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 答案：C 解析：建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，OP的中点坐标为(，，1)， 又知D1(0,0,2)，Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，xQ＋yQ＝3，x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.有2个符合题意的点P，即对应有2个λ. 二、填空题(每小题7分，共21分) 7. 给出命题：若a与b共线，则a与b所在的直线平行；若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa；若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，＝＋＋，则点M一定在平面ABC上，且在ABC的内部．其中真命题是__________． 答案： 解析：中a与b所在的直线也有可能重合，故是假命题；中当a＝0，b≠0时，找不到实数λ，使b＝λa，故是假命题；可以证明中A，B，C，M四点共面，因为＋＋＝，等式两边同时加上M，则(M＋)＋(M＋)＋(M＋)＝0，即＋＋M＝0，＝－－M，则与，M共面，又M是三个有向线段的公共点，故A，B，C，M四点共面，所以M是ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在ABC的内部，故是真命题． 8．已知空间三点A(1,1,1)、B(－1,0,4)、C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________． 答案：120° 解析：＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)， cos〈，〉＝＝ ＝＝－， 〈，〉＝120°，即θ＝120°. 9. 已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于__________． 答案： 解析：由于a，b，c三个向量共面，所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，即有，解得m＝，n＝，λ＝. 三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算： (1)·；(2)·. 解：如图，设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)· ＝b·[(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16. (2)·＝[(c－a)＋b]·(b＋a) ＝(－a＋b＋c)·(b＋a) ＝－|a|2＋|b|2 ＝2. 11. 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，OAC＝45°，OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．解：＝－， ·＝·(－) ＝·－· ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16. cos〈，〉＝ ＝＝. 故，夹角的余弦值为， 即直线OA与BC所成