④椭圆备选习题.docVIP

备选习题 【历年真题】 1.（2008·上海）设P是椭圆＋＝1上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 解析：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. 已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝___. 解析：如图，由椭圆的定义可知： |F1A|＋|F2A|＝2a＝10， |F1B|＋|F2B|＝2a＝10， 所以|AB|＝20－|F2A|－|F2B|＝8. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak. (1)求椭圆G的方程． (2)求△AkF1F2的面积． (3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由． 解：(1)依题意设椭圆G的方程为＋＝1，ab0， 半焦距为c，因为椭圆G的离心率为，所以＝c＝a. 因为椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12， 所以2a＝12a＝6.所以c＝3，b＝＝3， 椭圆G的方程为＋＝1. (2)圆Ck的方程可化为(x＋k)2＋(y－2)2＝25＋k2， 所以圆Ck的圆心Ak的坐标为(－k,2)，半径为. 在△AkF1F2中， 底边F1F2的长|F1F2|＝2c＝6，F1F2边上的高为2， 故△AkF1F2的面积S＝×6×2＝6. (3)因为椭圆G与圆心Ak所在直线y＝2均关于y轴对称，所以不妨考虑k≥0的情形，此时， 圆心Ak(－k,2)到椭圆G的右顶点N(6,0)的距离为 |AkN|＝ ＝， 所以点N(6,0)总在圆外． 所以任何圆Ck都不能包围椭圆． 已知，椭圆C经过点A，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C的方程． (2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值． 解：(1)由题意，c＝1，可设椭圆方程为＋＝1. 因为点A在椭圆上，所以＋＝1， 解得b2＝3，b2＝－(舍去)．所以椭圆方程为＋＝1. (2)设直线AE的方程为：y＝k(x－1)＋，代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0. 设E(xE，yE)，F(xF，yF)．因为点A在椭圆上， 所以xE＝，yE＝kxE＋－k. 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数， 在上式中以－k代k，可得 xF＝，yF＝－kxF＋＋k. 所以直线EF的斜率kEF＝＝＝.即直线EF的斜率为定值，其值为. 如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1交于A、B两点，记△AOB的面积为S. (1)求在k＝0,0b1的条件下S的最大值． (2)当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程． 解：(1)设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)， 由＋b2＝1，解得x1,2＝±2， 所以S＝b·|x1－x2|＝2b·≤b2＋1－b2＝1， 当且仅当b＝时，S取到最大值1. (2)由题意知斜率存在，则由 得x2＋2kbx＋b2－1＝0， Δ＝4k2－b2＋1.① |AB|＝·|x1－x2| ＝·＝2.② 设O到AB的距离为d，则 d＝＝1.又因为d＝，所以b2＝k2＋1， 代入②式并整理，得k4－k2＋＝0， 解得k2＝，b2＝.代入①式检验，Δ＞0. 故直线AB的方程是 y＝x＋或y＝x－或y＝－x＋或y＝－x－. 椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是(　　) A. B. C．1 D. 解析：椭圆的右焦点为(1,0)，则(1,0)点到y＝x的距离d＝. 以椭圆的焦点F1、F2为直径的圆恰好过椭圆短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e等于(　　) A. B. C. D. 解析：2b＝2c，即b＝c，离心率e＝＝＝＝. 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：由已知得2b＝a＋c.又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝2＋c2，整理得5c2＋2ac－3a2＝0.即5e2＋2e－3＝0.因为0e1，所以e＝. 设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为(　　) A．4 B．6 C．2 D．4 解析：a2＝，2a＝7＝|PF1|＋|PF2|， 由|PF1|∶|PF2|＝4∶3得|PF1|＝4，|PF2|＝3. 又b2＝6，所以c2＝，2c＝5＝|F1F2|