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南理工物理光学06
第六节 光波的傅里叶分析 一、非简谐周期波的分析 ??周期波: 相邻的相等时间和空间内运动完全重复一次的波 分析方法:用傅立叶级数定理作周期波的分解 傅里叶级数定理:一个空间周期为 的周期函数f(z)满足狄里赫利条件[f(z)在一周期内只有有限个极值点和第一类不连续点],则f(z)可以用下式的傅里叶级数表示: 式中的傅里叶系数A0 、An 、Bn分别为 : 结论:复杂波可以分解为许多振幅不同且空间角频率分别为k,2k,3k,…的单色波。 对于给定的某一复杂波的函数形式,对它进行傅里叶分析,只需计算各个分波的振幅即可。 -1 +1 矩形周期波 例:矩形周期波的分解 解:(1) 写出矩形周期波函数 f(z) (2) 求傅里叶系数 (3) 写出 f(z) 则矩形波的傅里叶级数表示式为 振幅 k 3k k 5k 7k 0 频谱图 基波 (4)空间频谱图 空间频谱图(A(k) ~ k曲线) 表示傅里叶分析的结果 周期复杂波的频谱是离散频谱,由一系列离散线组成。 谐波 也可以表示为复数形式,即 其中系数 傅里叶级数 二、非周期波的傅里叶分析 非周期波不是无限次重复它的波形,而是只存在于一定的有限范围之内,在这个范围外,振幅为0,呈现波包(波群)的形状。 数学上的傅里叶积分定理是非周期性波分析的工具。 傅里叶积分定理:一个非周期函数f(z)在 上满足狄里赫利条件,且绝对可积,可以用一个傅里叶积分表示为 其频谱函数为 该单色光波的振幅 函数f(z)的傅里叶积分表示振幅A(k)随空间角频率k连续变化的无限多个单色波的叠加。 所以说如果非周期函数f(z)表示一个波包,则傅里叶积分表示:一个波包可以分解为无限多个频率连续的、振幅随频率变化(频谱)的简谐分波。 表示空间角频率为K的单色光波 z f(z) 0 1 以矩形脉冲非周期函数为例,求取它的傅里叶变换及频谱图。矩形脉冲可以表示为 它的频谱函数为 三、实际光源发出的光波分析 设波列在空间一段距离2L内呈简谐分布其振幅为A0,空间角频率为k0,取波列长度2L的中点为坐标原点,其函数形式为 其傅里叶频谱分布为 其强度分布为 空间频谱 ?非周期波的空间频谱是连续谱。 易知实际光源发出的光波是非单色光。 分析: (1)波列包含有 ???以外其它空间频率取值为k的无数个单色波 (2)存在一个有限空间频率范围△k,决定着实际光源的光强度 强度的第一对零值对应的频宽的一半: 波长带宽 (3)光波单色性的表示 (a) ? ??????????????????? 波列长度2L长, △k小;?? 光波单色性好 2L→∞,△k→0????? 单一角频率 ????的光波 简谐波是理想单色光波 ? (b) ? ?????????????????????????? 2L长,→ 小,单色性好 (c) 用频率或时间表示? ? ?? ┖ 波列存在时间 ┖时间频率范围 (4)准单色光(Quasi-monochromatic light ): 波长宽度与中心波长之比远小于1的光 ,即 当△t大(即2L长), 就小,光单色性好 可知: 均可评价光波的单色性, 且与(2L)直接有关。 由λ= cT? ,2L =cΔt
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