3.6立体几何导数数列文档.docVIP

1.如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在 线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （Ⅰ）证明：AP⊥BC； （Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。 （I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得 又平面ABC，得 因为，所以平面PAD， 故 （II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM， 由（I）中知，得平面BMC， 又平面APC，所以平面BMC平面APC。 在 在， 在 所以 在 又 从而PM，所以AM=PA-PM=3。 综上所述，存在点M符合题意，AM=3。 2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1． （I）求证：CD=C1D： （II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； （Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离． 解析：（1）连接交于,, ,又为的中点， 中点，,,D为的中点。 （2）由题意,过A作,连接，则 ,为二面角的平面角。在中， ,则 （3）因为，所以, 在中，， 3.如图，在四面体中，平面平面，，，． （Ⅰ）若，，求四面体的体积； （Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值． （I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC. 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC， 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高， 且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=. 在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC， 由勾股定理易知 故四面体ABCD的体积 （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角. 设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC， 故由三垂线定理知DE⊥AB. 所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60° 设 在 从而 因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，， 又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得 因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为 4.已知函数f(x)＝x4＋ax3－a2x2＋a4(a＞0)(1)求函数y＝f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝1恰有两个交点，求a的取值范围． 解答：(1)∵f′(x)＝x3＋ax2－2a2x＝x(x＋2a)(x－a) 令f′(x)＝0得x1＝－2a，x2＝0，x3＝a 当a＞0时，f′(x)在f′(x)＝0根的左右的符号如下表所示 x (－∞，－2a) －2a (－2a,0) 0 (0，a) a (a，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极小值  极大值  极小值  ∴f(x)的递增区间为(－2a,0)与(a，＋∞)；f(x)的递减区间为(－∞，－2a)与(0，a)． (2)由(1)得到f(x)极小值＝f(－2a)＝－a4，f(x)极小值＝f(a)＝a4，f(x)极大值＝f(0)＝a4 要使f(x)的图象与直线y＝1恰有两个交点，只要－a4＜1＜a4或a4＜1，即a＞或0＜a＜1. 已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； (2)设f(x)在[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围． 解答：(1)对函数f(x)求导数，得 f′(x)＝(x2－2ax)ex＋(2x－2a)ex＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex.令f′(x)＝0，得[x2＋2(1－a)x－2a]ex＝0，从而x2＋2(1－a)x－2a＝0.解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋其中x1＜x2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表： x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  即f(x)在x＝x1处取到极大值，在x＝x2处取到极小值．当a≥0时，x1＜－1，x2≥0，f(x)在(x1，x2)上为减函数，在(x2，＋∞)上为增函数．而当x＜0时，f(x)＝x(x－2a)ex＞0；当x＝0时，f(x)＝0.所以当x＝a－1＋时，f(x)取得最小值． (2)当a≥0时，f(x)在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x2≥1，即a－1＋≥1.解得a≥；综上，f(x)在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a≥，即a的取值范围是[