反馈线性化设计方法16.ppt

第五章 反馈线性化设计方法 §5.1 数学基础 一、基本术语 平滑的标量函数 的梯度记为： 矢量场 雅可比矩阵记为： 二、李导数和李括号 李导数定义：令 ： 为一个平滑的标量函数； ： 为 上的一个平滑的矢量场，则 对 的李导数是一个定义为 的标量函数。 多重李导数可以递归地定义为： 如果 是另一个矢量场，则标量函数 。 李括号定义：令 与 为 上的两个矢量场， 与 的李括号是第三个矢量场，定义为： 李括号 通常写为 ，多重李括号可以递归定义为： 引理：李括号具有下列性质 1、双线性： 2、斜交换性： 3、雅可比恒等式： 三、微分同胚与坐标变换 微分同胚的概念可看成是熟知的坐标变换概念的推广，其正式的定义为： 定义：定义在区域 上的函数 ： ，如果它是平滑的，它的逆 存在并且平滑，则称之为微分同胚。 引理：令函数 为在 中的区域 内定义的一个平滑函数，如果雅可比矩阵 在 内一点 非奇异，则 在 的一个子区域内为一个局部的微分同胚。 例：动态系统 ： 定义新的状态为： 求微分得： 新的状态方程： 四、Frobenius定理 Frobenius定理提供一类特殊的偏微分方程可解性的充分必要条件。 例子：对一阶偏微分方程组 如果它的解 存在，我们称这组矢量场 为完全可积的。 Frobenius定理提供了一个比较简单确定这些方程可解的条件： 这个条件称为矢量场 的对合条件。 Frobenius定理断言一组矢量场当且仅当它满足对合条件时是完全可积的。 定义1：线性无关的矢量场的可积性定义 上的一组线性无关的矢量场 是完全可积的，当且仅当存在 个标量函数 满足一组偏微分方程： 其中 ，而梯度 是线性无关的。 偏微分方程共有 个。 定义2：线性无关的矢量场的对合性定义 线性无关的矢量场集合 是对合的，当且仅当存在标量函数 ，使： 说明： 1、恒矢量场总是对合的； 2、由单独的一个矢量 组成的集合总是对合的； 3、由定义检验矢量场集合 是否对合等于就是检验下式是否对于全体 和全体 都成立。 Frobenius定理：令 为一组线性无关的矢量场，当且仅当这个集合为对合时它是完全可积的。 例 考虑偏微分方程组 相应的矢量场集合为 ，其中 检验矢量场集合的对合性，结论是对合的。 §5.2 单输入单输出系统的输入-状态线性化 研究对象：仿射非线性系统 研究的问题包括：线性化条件、方法、控制器的设计 一、输入-状态线性化的定义 定义：一个单输入的仿射非线性系统，其中 和 为 上的平滑矢量场，如果在 中存在一个区域 ，一个微分同胚 ： ，以及反馈控制律： 使得新的状态变量 和新的输入 满足线性定常关系 其中 则称该系统是输入-状态可线性化的。 二、输入-状态线性化的条件 定理：对于非线性系统 其中， 和 为平滑矢量场，当且仅当存在一个区域 使得下列条件成立时，该非线性系统是输入-状态可线性化的： 1）矢量场 在 内线性无关； 2）集合 在 内是对合的。 三、如何进行输入-状态线性化 非线性系统的输入-状态线性化步骤： 1、对给定系统构造矢量场 ； 2、检查能控性条件和对合性条件是否满足； 3、满足两个条件，则从下列方程求出第一个状态 4、计算状态变换 与输入变换 式 ，其中 例：对于单杆柔性关节机器人，其