1学生会代表席位的公平分配方案.doc

有n盏开始全不亮的电灯其开关分别编号为1,2,…,n。现让分别编号为1,2,…,n的学生依次拉开关编号为其编号倍数的开关，问全部拉完后哪些灯是亮的。 有红、黄、绿全不亮的三盏灯共用一个开关，开关分别拉一、二、三、四下后依次红灯亮，红黄灯亮、三个灯全亮、全不亮。现有n个学生分别编号为1,2,…,n，奇数号的学生每人拉灯次数等于其号数，偶数号的学生每人拉灯次数为2nq，q为奇数， 求全部拉完后灯亮的情况。 学生会代表席位的公平分配方案 学校理学院有三个系共1000名学生，院学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数比例分配。若其人数分别为500、300、200，按通常惯例显然应该是三个系学生分别占有10、6、4个席位。如果其中数学系515名学生，物理系有315名学生，化学系有170名学生，则在按比例分配名额时会出现小数，按通常惯例优先小数最大的。显然三系分别占有10、6、4个席位。因为20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10：10的局面，会议决定将代表席位增加1席，经过重新分配后得到各系的代表席位分配数为11、7、3，这时化学系提出异意，认为结果显然不公。但是这又是按照通常惯例做的。这说明惯例是存在不公的，那么这时代表席位如何分配能更公平呢？ 系别 学生人数 人数比例 20 21 比例分 惯例人 比例分 惯例人 数学系 515 51.5 10.3 10 10.815 11 物理系 315 31.5 6.3 6 6.615 7 化学系 170 17 3.4 4 3.570 3 总和 1000 100 20 20 21 21 建立数量指标：由于公平是由两两比较得到的，因此我们可以讨论A、B两方公平分配席位的情况。设双方人数分别为p、q，占有席位分别为m、n，则双方每个席位代表人数分别为什么p/m和q/n，显然仅当其相等时席位的分配是公平的。但是通常情况下是不会相等的，所以一般情况下总是对一方不太公平。不公平的程度可以用数值p/m-q/n来衡量，它衡量的是不公平的绝对程度，常常无法区分两种程度明显不同的不公平情况，例如120/10-100/10= 1020/10-1000/10=2，后者显然比前者公平。为了改进上述绝对标准，我们自然想到用相对标准，若定义为对A的相对不公平值，若，定义为对B的相对不公平值。下面利用这个指标重新分配代表席位。 确定分配方案：假设A、B两方已分别占有m和n席，利用相对不公平值讨论，当总席位增加1个时，应该分配给谁？ 不妨设，即对A不公平，则当再分配1个席位时，有以下三种情况： 1. ，这说明即使A方增加1席，仍对A不公，这一席当然应该给A； 2. ，说明即使A方增加1席，将变为对B不公，这时可以计算出对B的相对不公平值 （1） 3. ，即当B方增加1席将对A方不公，则可以计算出对A的相对不公平值 （2） 因为公平席位的分配原则是使得相对不公平值尽可能小，所以如果 即 （3） 则席位应该分给A方，否则分给B方。 可以看出第一种情况也与（3）等价。于是我们得到结论是当（3）式成立时增加的席位给A方，否则给B方。 这个方法可以推广到有m方分配席位的情况，设第i方的人数为，已占有个席位，当总席位增加1席时，计算 （4）应将这一席分给Q值最大的一方，称这种方法为Q值法。 下面用Q值法重新分配三个系的代表名额 先将整数部分的19席分配完毕，再用Q值法分配剩余的两席。 因为，所以第20应该分配给数学系。 因为，所以第21席应该分配给化学系。这样分配席位的结果是11，6，4。是不是相对以前比较公平？ 从这个问题可以看出，建立衡量公平合理的数量指标是问题的关键所在，这个模型提出的相对不公平值是确定分配方案的前提，在这个前提下导出的分配方案应该是比较公平的。 下面分析一下为什么Q值法比较公平 设为总人数，为总席位数，第方席位数为按人数比例计算的整数部分，即，于是有 上式两端分别是增加1席给第i方和不给第i方时，该方每席位所代表的人数，这两个值越大，对第i方第i方第i方越不公平，而恰好是它们的几何平均值的平方，故它能反映对第i方的不公平程度，增加的席位应该给Q值最大的一方。