2.3函数的应用（I）.ppt

2．3 函数的应用（I） * * 大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？” 这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔，共有35个头，94只脚，那么鸡和兔各有多少只？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？ 孙子的大胆解法： 他假设砍去每只鸡和兔一半的脚， 则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数， 即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23. 1.函数应用概述 利用函数模型解决的实际问题称为函数的应用问题. 2.解函数应用问题的基本步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数理关系; (2)建模:将文字语言转化为数学语言,用数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,等到数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 3.分析和解答函数应用问题的思维过程 实际问题 数学问题 数学问题答案 实际问题结论 建模 (审题、转化、抽象） 问题解决 解模 (运算) 还原 (结合实际评价） 现举例说明一次函数和二次函数的应用. 例1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277公里。火车出发10min开出13 km后，以120 km/h匀速行驶。试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系。并求离开北京2h时火车行驶的路程。 解：因为火车匀速运动的时间为 (277－13)÷120= (h)，所以 0≤t≤ 。 因为火车匀速行驶t h时所行驶的路程为120t，所以火车行驶的总路程s与行驶时间t之间的关系是 s=13+120t (0≤t≤ ). 离开北京2h时火车行驶的路程 s=13+120× =233(km)。 例2．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满。公司欲提高档次，并提高租金。如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间。若不考虑其他因素，旅游公司将客房租金提高到多少时，每天客房的租金收入最高？ 解：方法一，依题意可列表如下： (300－10×8)(20+2×8)=7920 8 (300－10×7)(20+2×7)=7820 7 (300－10×6)(20+2×6)=7680 6 (300－10×5)(20+2×5)=7500 5 (300－10×4)(20+2×4)=7280 4 (300－10×3)(20+2×3)=7020 3 (300－10×2)(20+2×2)=6720 2 (300－10×1)(20+2×1)=6380 1 300×20=6000 0 y x …… …… (300－10×13)(20+2×13)=7820 13 (300－10×12)(20+2×12)= 7920 12 (300－10×11)(20+2×11)= 7980 11 (300－10×10)(20+2×10)= 8000 10 (300－10×9)(20+2×9)=7980 9 (300－10×8)(20+2×8)=7920 8 y x 由上表容易得到，当x=10时，即每天租金为40元时，能租出客房200间， 此时每天总租金最高，为8000元。 方法二：设客房租金每提高x个2元，则将由10x间客房空出，客房租金的总收入为 y=(20+2x)(300－10x)=－20x2+400x+6000 =－20(x－10)2+8000. 由此得到当x=10时，ymax=8000. 因此每天租金为40元时，能租出客房200间， 此时每天总租金最高，为8000元。 从而矩形的面积为 = = 。 例3．某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使围墙围出的场地面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？ 解：设矩形的长为x (0x )，则宽为 ， 这时这个矩形时边长等于 的正方形。 由此可得，该函数在x= 时取得最大值， 且 。 例4．建立函数模型的例子， 问题:我国1999~2002年国内生产总值（单位：万亿元）如下表所示： 10.2398 9.5933 8.9442 8.2067 生产总值 3 2 1 0 x 2002 2001 2000 19