2．4．2 二分法1.ppt

2．4．2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 * * 有一条5km长的电话线路（大约100多根电线杆），某一天线路发生了故障．想一想，维修线路的工人师傅如何迅速查出故障所在？ 求下列函数的零点： (1)y=2x-1 (2)y=x2-2x-3 由于解决实际问题的需要，人们经常需要寻求函数y=f(x)的零点（也就是方程f(x)=0的根）。求一次函数或二次函数的零点，我们可以用熟知的公式解法。 在16世纪，人们找到了三次函数和四次函数的求根公式，但对于高于四次的函数，类似的努力却一直没有成功。 到了19世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于四次的函数（即高于四次的代数方程）不存在求根公式，也就是说，不存在用四则运算即根号表示的一般公式解。 同时对于三次和四次的代数方程，由于公式解的表示相当复杂，一般来讲并不适宜用作具体计算。因此对于高次多项式函数及其他的一些函数，有必要寻求求零点的近似解的方法。这在计算数学中是一个十分重要的课题。 在分析函数零点的性质时，我们已经看到，如果函数y=f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并求在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点。即存在一点x0∈(a, b)，使f(x0)=0。 1.变号零点与不变号零点的概念 如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)0,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点x0∈(a,b),使f(x0)=0如果函数图象通过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点。 a b x0 x1 x2 0 依据这个性质，下面我们介绍求函数零点的近似值的一种计算方法：二分法。 2.求函数变号零点的近视零点的意义 由于实际问题的需要，人们经常需要寻求函数y=f(x)的零点（也就是方程f(x)=0的根）。求一次函数或二次函数的零点，我们可以用熟知的公式解法（二次函数，用求根公式）。 对于三次、四次的函数，如果它们对应的方程能进行因式分解，那么求零点的问题就转化为解一次或二次方程，但对于三次或四次方程不能因式分解的情况就需要寻找求零点的近视值的方法。 已知函数y=f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度。 下面我们分步写出，用二分法求函数零点的一般步骤。 第一步：在D内取一个闭区间[a0，b0] D，使f(a0)和f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)0，零点位于区间[a0，b0]中； 3.用二分法求函数零点的一般步骤 第二步：取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为， 计算f(x0)和f(a0)，并判断： （1）如果f(x0)=0，则x0就是f(x)的零点，计算终止； （2）如果f(a0)·f(x0)0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1=a0，b1=x0； （3）如果f(a0)·f(x0)0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1=x0，b1=b0； 第三步：取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为 计算f(x1)和f(a1)，并判断： （1）如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止； （2）如果f(a1)·f(x1)0，则零点位于区间[a1，x1]中，令a2=a1，b2=x1； （3）如果f(a1)·f(x1)0，则零点位于区间[x1，b1]中，令a2=x1，b2=b1； …… 继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an、bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点。 计算终止。 这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度。 例1. 求函数f(x)=x3+x2－2x－2的一个正实数零点（精确到0.1）。 解：由于f(1)=－20，f(2)=60， 可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间。 用二分法逐步计算，列表如下： [1.376，1.4375] f(x3)=0.1620 x3=1.4375 [1.375，1.5] f(x2)=－0.2600 x2=1.375 [1.25，1.5] f(x1)=－0.9840 x1=1.25 [1，1.5] f(x0)=0.6250 x0=1.5 [1，2] f(1)=－2，f(2)=6 a0=1，b0=2 确定区间 计算端点或中点的函数值 端点或中点横坐标 由上表的计算可知，区间[1.376，1.4375]的左、右端点精确到0.1所取