全等三角形经典题型辅助线.doc

全等三角形常见辅助线作法 【例1】．已知：如图6，△、△分别是以、为斜边的直角三角形，且，△是等边三角形．求证：△是等边三角形． 【例2】、如图，已知BC AB，AD=DC。BD平分∠。求证：∠A+∠C=180°. 一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。【例. 3】如图，已知在△中，，，平分，交于点. 求证： 证明：延长DC到E，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60° AD=AE ∵∠C=90° ∴△ADE为等边三角形 ∴AC⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA ∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=30° ∴DB=DA ∠ADE=60° 【例4.】 如图，是的边上的点，且，，是的中线。求证：。 证明：延长AE到点F,使得EF=AE 联结DF 在△ABE和△FDE中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDA BE =DE ∵∠ABE=∠FDE ∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE（SAS） 在△ADF和△ADC中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC ∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF≌ ADC(SAS) ∵ ∴AF=AC ∴AC=2AE 【变式练习】、 如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 　【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。　　　　　　　　　　　　 【变式练习】：如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。　求证：AE=EF。 2、运用角平分线构造全等 【例5】如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD 证明：在AC上截取AF=AE ,联结OF 在△AOE和△AOF中 在△ABC中，∠B+∠BAD+∠ACB=180° AE=AF ∵∠B =60 ° ∠EAO=∠FAO ∴∠BAD+∠ACB=120° AO = AO ∵AD平分∠BAC ∴△AOE ≌△AOF（ASA） 在△COD和 △COF中 ∴∠BAC= 2∠OAC ∴∠AOE=∠AOE OE=OF ∠DCO =∠FCO ∵CE平分∠ACB ∵∠AOE=60° CO=CO ∴∠ACB= 2∠ACO ∠AOE+∠AOE+∠FOC=180° ∠DOC=∠FOC ∴2∠OAC+2∠ACO=120° ∠FOC=6O° ∴△C