[司法考试]高等数学讲义二.doc

2014年山东省专升本高等数学备考讲义（二） 高等数学拓展延伸 时间：2013年8月30日 讲义制作：曲天尧 温馨提示：鉴于山东省专升本考试高等数学历年都会出现超纲的内容，所以在专升本考试前夕编写了这一份拓展的复习，不要求考生在短时间内可以完全掌握，只是大概了解一下即可. 当然，每位考生的情况是不同的，在复习阶段只需要量力而行，基础好的同学可以，基础不是很好的同学这部分内容将不作为掌握的重点. 定积分的应用—求旋转体的体积：，直线x=a，x=b（a＜b）及x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一周后得到旋转体W，如图所示. 其所成旋转体的体积为. 2. 由曲线，直线y=c，y=d（c＜d）及y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周后得到旋转体M，如图所示. 其所成旋转体的体积为. 例题1. 已知与所围部分. 求： （1）绕轴旋转所得图形的体积； （2）绕轴旋转所得图形的体积. 解：① ② 例题2. (2011年会计学专业真题) 设S1是由抛物线y=4x2与直线x=a，x=1，y=0所围成的平面图形，2是由抛物线y=4x2与直线x=a，y=0所围成的平面图形(0＜a＜1). 设S1、S2分别绕x轴、y轴旋转面得到的旋转体的体积为V1、V2，则V1+V2最大时a的值为( )A. 1 B. 1/3 C. 1/4 D.1/2 答案：D 拓展二：三角有理函数的积分—万能代换公式：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数有理式. 一般记为 R(sin x , cos x) ，则万能代换公式： 则： 注意：三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换.通常含有sin2x、cos2x及sinxcosx的有理式的积分时，用代换u=tanx往往更方便.求不定积分 解： 则原式= 拓展三：求幂级数的和函数： 幂级数的和函数s(x)的性质： 性质1：幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续( 如果幂级数在x(R (或x((R)也收敛( 则和函数s(x)在((R, R](或[(R, R))连续( 性质2：幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积( 并且有逐项积分公式 (x(I )( 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径( 性质3：幂级数的和函数s(x)在其收敛区间((R( R)内可导( 并且有逐项求导公式 (|x|(R)( 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径( 例题4. 求幂级数的和函数. 解：求得幂级数的收敛域为[(1( 1)( 设和函数为s(x)( 即( x([(1( 1)( 显然s(0)(1( 在的两边求导得 ( 对上式从0到x积分( 得 ( 于是( 当x (0时( 有( 从而( 因为( 所以( 当x(0时( 有( 从而 ( 拓展四：求解二阶常系数非齐次线性常微分方程： 1. 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是：，其中为常数，若特解为，对应的齐次微分方程的通解为，则原方程的通解为 . 2. 求二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法： ①设，其中是次多项式，设特解 ，其中也是次多项式，当不是的单特征根时，；当是的重特征根时，，再设，将代入微分方程，两端比较同次幂系数，就可求出符定系数. ②设其特解为 其中，而按 （或）不是特征方程的根据或是特征方程的单根依次取0或1. 3. 归纳总结：对于非齐次方程其中，表示次多项式. 其特解形式设定如下： （1）识别； （2）计算，和特征根相等个数，。 （3）特解可设为， 其中为次多项式. 注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成. 例题5. 求解微分方程. 解：（1）， ，， 齐次通解 （2）， ， ， 又设，代入原方程得 ，. 故通解 例题6. 求解微分方程. 解：（1）， （2）， ，， 可设 计算得： 代入原方程得 ，，故通解. 例题7. 求解微分方程. 解：（1）， （2）的特解 ， ，，，。 又设 代入原方程得 解得； （3）的特解 可设，代入得，D＝，. 综合得通解. 拓展五：多元函数微分学在几何中的应用： 归纳总结： 1. 空间曲线切线与法平面： 1） 切向量 切线方程： 法平面方程： 2）类似的 切线方程： 法平面方程： 3） 2. 空间曲面切平面与法线： 1） 切平面： 法线： 2） 类似地 切平面： 法线： 3）* （参数方程形式） 切线 3. 方向导数： （梯度在方向投影） 4. 梯度、散度、旋度： 设 梯度： 散度： 旋度： 例题8. (2012年会计学专业真题) 已知曲面z=4-x2-y2上点P处的切平面平行于平面2x