[商务科技]888-3格林公式及其应用.ppt

2. 平面第二型曲线积分与路径无关的条件 上页 下页 铃 结束 返回 首页 8-3 格林公式 . 平面第二型曲线积分 与路径无关的条件 单连通与多连通区域 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.通俗 地说，平面单连通区域是不含有“洞”（包括点“洞”）的区 域,复连通区域是含有“洞”（包括点“洞”）的区域. 例如，平面上的圆形区域 , 上半平面 都 是单连通域. 环形区域 都是复连通区域. 定义 规定平面区域D的边界曲线L的正向如下：当观测者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边.如图 D L 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 1. 格林公式 证 先证 根据区域D 的不同，我们分三种情况进行证明： （1） 根据曲线积分的性质及计算法，有 另一方面，根据二重积分的计算法，有 比较上面两式，即得所要的公式（8.4） (2) 若D是单连通区域,但D的边界线L与平行于y轴的直线之交点多于两个. 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 证毕 (3) D 是多连通区域 这时仍然可以通过作辅助线的方法将D 分作若干小区 域.如图所示.对于每个小区域使用上述公式(8.4),然后相加 ，即得出对于整个区域D 上公式 (8.4) 成立. 类似地可证 将前面已证明的关于 及 的公式相加， 即得到格林公式. 例1 求 其中L为正方形ABCD 的边界，A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1). A(1,0 ) B(0,1 ) D(-1,0 ) C(0,-1 ) x y o 解 利用格林公式， 例2 求椭圆 的面积D. 解 椭圆的边界方程为 D 的面积 例3 求曲线积分 解 为利用格林公式，故需分两种 情况讨论. (1) 当L所围成的区域D内不包含原点时,P(x,y),Q(x,y) 在D 内有连续的一阶偏导数，这时可用格林公式.易算出 (2) 当L所围的区域D 包含原点作为其内点时，由于P(x,y) ,Q(x,y) 在D内一点（即原点）处无定义，也就不满 足 格林公式成立的条件，故不能在区域D 上用格林公式. 为了能用格林公式，需要把原点“挖掉”.为此以原点为圆心，充分小的 r(0)为半径作一小圆C，使C整个包含在D 内.在挖掉小圆域C 之后的多连通区域 上，可利用格林公式.设C的边界曲线为 ，则有 此式说明，沿任意一条将原点包围在其内部的光滑正向闭曲线L 的积分，都等于沿以原点为圆心的正向圆周 的积分. 例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明： 其中 表示函数u(x,y)沿L的外法线方向的方向导数， 应满足 证 设 为 的单位切向量，其方向余弦为 .而 为L 的外法线方向的单位向量.设 与 其中 为z轴正方向的单位向量.由于 说明 的方向余弦为 .于是由方向导数的定义 ，有 例 5 设区域D的边界为闭曲线L. 某稳定流体(即流体的流速与时间无关，只与点的位置有关)在 上每一点(x,y)处的速度为 其中P(x,y),Q(x,y) 在 上有一阶连续偏导数.该流体通过闭曲线L的流量 定义为 其中 为L的外法线方向的单位向量.试证明 证 设 的切向量的方向余弦为 由例4知 ========= 由格林公式 （格林公式的另一种形式） 称函数 为平面向量场 的散度. 物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等 于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值. 提示? 格林公式: 设区域D的边界曲线为L? 则 在格林公式中? 令P??y? Q?x? 则有 用格林公式计算区域的面积