[小学教育]D3_1定积分概念与性质.ppt

第三章 第一节 一、定积分问题举例 解决步骤 : 3) 合 2. 变速直线运动的路程 3) 合 二、定积分定义 定积分的几何意义: [注] 利用 例2. 用定积分表示下列极限: 四、定积分的性质 性质1.3 若 例3. 试证: 当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 说明: 例5. 内容小结 思考与练习 作业 通常称 故它是有限个数的算术平均值概念的推广. 因 积分中(均)值. 当 时，推论 3 有如图的几何意义。 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度. 解: 已知自由落体速度为 故所求平均速度 1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限 3. 定积分的性质——线性性质，单调性，区间 及积分中值定理 连续函数在区间上的平均值公式. 2.定积分的存在条件 必要条件 充要条件 可积函数类. 可加性 1. 用定积分表示下述极限 : 解: 或 * 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学及其应用 积分学 不定积分 定积分 积分研究函数的整体性态! 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的存在条件 存在条件及性质 第三章 四、 定积分的性质 定积分的概念、 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 矩形面积 梯形面积 1) 分 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 匀 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 小曲边梯形面积 得 4) 精 令 则曲边梯形面积 设某物体作直线运动, 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 分 将它分成 在每个小段上物体经 2) 匀 得 已知速度 n 个小段 过的路程为 4) 精 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 : “分，合，匀，精 ” 四步 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 即 同一个常数I , 则称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 且称此 常数 I 为函数 在区间 上的定积分, 记作 个分点： 选取, 当 和式 总趋于 任取 如果无论区间如何分割， 点如何 任取 如果无论区间如何分割， 点如何 积分上限 积分下限 被积函数 被积式 积分变量 积分和 注：1、定积分又被称为Riemann 积分, 简称 R 积分。 2、在定义中，当所有子区间的长度的最大值 d 趋近于 0 时，区间的个数 n 趋于无穷大，但不 能用 3、定义包含了两个任意性，即对区间的分割与点 的选取都是任意的. 如果对区间的两种不同分割 或 的不同选择，得到的和式的极限不同，或者 存在一个和式的极限不存在，则函数 f 在该区间上 不可积。例如：Dirichlet 函数 x 为有理数 x 为无理数 在区间[0,1]上不可积！ 数，它的值仅与被积函数 f 及积分区间有关 , 而与 积分变量用什么字母表示无关 , 即 4、函数 f 在区间 [a,b] 上的定积分是一个确定的常 由定积分的定义可知两引例中: 1、曲边梯形面积: A= 2、变速直线运动的路程: s = 曲边梯形面积； 曲边梯形面积的相反数. 各部分面积的代数和 三、定积分的存在条件 1. 可积的必要条件 定理1.1 若函数 f 在[a, b]上可积, 则 f 在[a, b]上有界. 注: 可积函数必有界, 有界不一定可积. 如Dirichlet函数. 证明: (反证法) 若 f 在 [a , b] 上无界，则对任意分 割,必存在子区间 ，使 f 在该子区间上无界。 因此，对任意正数 M，总存在 使得 可大于任给的常数。 故其极限不存在, 即 f 在[a , b] 不可积。 证毕！ 定义: 设 f 为[a, b]上的有界函数, 将区间[a, b]任意分 2、可积的充分条件 割为 n 个子区间 取 称 为 f 在子区间 上的振幅. 和式 分别称为 f 关于该分割的 反之亦然! 即有： Darboux大和与Darboux小和. 2.如果 f 在区间[a , b] 上可积，则 易知：1. 对同一分割， 唯一确定，且 —————————————————————————— 定理1.2 设函数 f 在[a, b]上有界，则 f 在[a, b]可 即对任意的? ? 0，总存在相应的某一分割, 使得当 积的充要条件是： 当 时， 分割出的所有子区间的长度的最大值 时,（*） （*） 式成立。 （证明略.） 定理1.3 3、可积函数类 若 则 f 在[a, b]上可积. 证明：因为 f 在[a , b] 上连续，故一致连续，即 当 有