[工学]6-多自由度振动.ppt

同理 6.6 无阻尼系统的强迫振动 （6）广义坐标下的响应 作业：T6-33 这里 展开代入数据即可… 6.6 无阻尼系统的强迫振动 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动 n自由度系统的振动微分方程为 其中的质量矩阵[M]、刚度矩阵[K]和阻尼矩阵[C]通常为实对称矩阵。 阻尼矩阵通过上节的坐标变换一般不能化为对角阵，即方程不能解耦。因此多自由度有阻尼振动系统的求解非常困难。 如果阻尼矩阵[C]是质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]的线性组合，则称之为比例阻尼。 其中a和b为常数。则对阻尼矩阵进行正则变换后得 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动 这样，对振动方程进行正则变换后得到 （i＝1，2，…，n） 由于方程已经解耦，则可直接利用单自由度的理论求解正则坐标下的稳态响应为 （i＝1，2，…，n） 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动 其中 广义坐标下的稳态响应为 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动 6.8 固有频率相等或为零的情况 6.8 固有频率相等或为零的情况 振动系统的广义特征值问题为： 固有频率相等的情况(P163-165) 这里[H]＝[K]-w2[M]为特征矩阵。由于结构的对称性或其它原因，可能具有重特征值，也就是有相同的固有频率。 6.8 固有频率相等或为零的情况 设固有频率有r个重根，则特征方程的秩变为n－r，原方程只有n－r个方程独立。划去r个不独立方程，并把其余n－r个独立方程写为 [Ha]为划去r个不独立方程并调整列位置后的剩余n－r个独立方程组成的 (n－r)×(n－r)阶方阵，[Hb] 为(n－r)×r阶矩阵，{Xa}为n－r阶列阵，{Xb}为r阶列阵。由此得到 6.8 固有频率相等或为零的情况 一般取 其中只有第i个元素为1，其余均为零。 记 将其正规化，即得到第i 阶重特征值的振型。 正规化的方法步骤为： （1）1阶重特征值振型： 6.8 固有频率相等或为零的情况 （2）2阶重特征值振型： （3）i 阶重特征值振型： (j＝1,2,…i－1) 6.8 固有频率相等或为零的情况 【例】 设系统的运动方程为 求系统自由振动的解。 解：利用前面的方法可求得固有频率为 6.8固有频率相等或为零的情况 则有两个重根，第1、2固有频率的特征值问题为 由前两个方程显然可看出一个振型（设为第一振型）为 6.8 固有频率相等或为零的情况 为求第2振型，去掉第2、3个方程后 列位置 1 2 3 4 调整[H]中列的位置使[Ha]－1存在。设 原列位置 1 4 2 3 6.8 固有频率相等或为零的情况 则 则 设 6.8 固有频率相等或为零的情况 则 所以 行位置 1 4 2 3 所以 6.8 固有频率相等或为零的情况 对第3、4固有频率，特征值问题为 为求第4振型，去掉第2、4个方程并调整列位置 6.8固有频率相等或为零的情况 列位置 1 2 3 4 1 3 2 4 则 设 6.8 固有频率相等或为零的情况 则 所以 行位置 1 3 2 4 这是由于 6.8 固有频率相等或为零的情况 所以 响应为 6.8 固有频率相等或为零的情况 有时振动方程会出现零特征值的情况，即固有频率为零，表明系统的运动是一种刚体运动，不发生弹性变形，这种运动称为刚体模态或零固有频率模态。这时系统的响应可以表示成At+B的形式（直线运动）。 对于刚体模态，整个系统如同一个刚体一样整体运动，有x1＝x2＝…＝xn，因而其特征向量的所有元素都为1。 固有频率为零的情况(P179-183) 6.8 固有频率相等或为零的情况 有一个或几个固有频率等于零的系统称为半正定系统。 可以证明，当系统的质量矩阵和刚度矩阵都是正定矩阵时，不会有零固有频率，而当刚度矩阵为半正定矩阵时，系统为半正定系统。 出现这种情况的物理条件是系统有刚体位移或自由-自由边界。 6.8 固有频率相等或为零的情况 【T5-36】水平面上一物块m1以速度v与物块m2发生完全弹性碰撞，已知m1＝m2＝m3，求碰撞后系统的响应。 解：碰撞后m2的速度为v，然后m2和m3组成的系统开始作自由振动。 6.8 固有频率相等或为零的情况 显然 解得 w1对应刚体运动，设为At+B 6.8 固有频率相等或为零的情况 则