[工学]C07 应力状态和强度理论22.ppt

7.4 广义胡克定律 7.4 广义虎克定律 7.4 广义胡克定律 主应变 7.4.3 复杂应力状态下的应变能密度 物体受外力作用而产生弹性变形时, 在物体内部将积蓄有应变能, 每单位体积内所积蓄的应变能称为应变能密度。 * 当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨接触点处就处于空间应力状态(图a)。 7.3 三向应力状态 正应力sx，sy，sz的下角标表示其作用面的外法线方向，切应力txy，txz，tyx，tyz，tzx，tzy的第一个下角标表示其作用面的外法线方向，第二个下角标表示切应力的具体方向。(回忆) 最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ，txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx，sy，sz，tyx，tzy ，tzx。 当空间应力状态的三个主应力s1，s2，s3已知时(图a)，与任何一个主平面垂直的那些斜截面(即平行于该主平面上主应力的斜截面)上的应力均可用应力圆显示。 例如图a中所示平行于s3的斜截面，其上的应力由图b所示分离体可知，它们与s3无关，因而表示这类斜截面上应力的点必落在以s1和s2作出的应力圆上(参见图c)。 同理，表示与s2(或s1)平行的那类斜截面上应力的点必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的应力圆上。 进一步的研究证明*，表示任意斜截面(图a中的abc截面)上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。 (a) (c) 据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力smax就是主应力s1，即 上述两公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态, 只需将具体问题的主应力求出, 并按代数值?1≥?2≥?3 的顺序排列。 而最大切应力为 例: 单元体的应力如图所示, 求出主应力和最大切应力值。 x y z 20 MPa 40 MPa 20 MPa 20 MPa x y z 20 MPa 40 MPa 20 MPa 20 MPa 因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力?z无关，可采用解析法求出另外两个主应力。也可画出应力圆求解(不鼓励)。 解:该单元体有一个已知主应力 x y sy sy tyx tyx txy txy sx sx a b c d 得另外两个主应力为 46 MPa, -26 MPa 该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为: 对于各向同性材料, 沿各方向的弹性常数E, G, μ均分别相同。在线弹性范围、小变形条件下, 正应力只引起线应变, 而切应力只引起同一平面内的切应变。 可用叠加原理, 分别计算出sx, sy, sz单独存在时x, y, z方向的线应变ex, ey, ez, 然后代数相加。 7.4.1 广义胡克定律 sx单独存在时 sy单独存在时 sz单独存在时 x 方向的线应变 在sx, sy, sz同时存在时, x方向的线应变ex为 依此类推， y, z方向的线应变e为 切应变gxy, gyz, gzx与切应力txy, tyz, tzx间的关系分别为 一般空间应力状态下, 在线弹性范围内、小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律 若已知空间应力状态下单元体的三个主应力, 则沿主应力方向只有线应变, 而无切应变。 与主应力s1, s2, s3相应的线应变分别记为e1, e2, e3, 称为主应变。 每单位体积的体积变化, 称为体积应变, 用q 表示。 ?1 ?2 ?3 a1 a2 a3 如图, 设单元体的三对平面为主平面, 三个边长为a1, a2, a3。 变形后的边长分别为a1(1+e??,a2(1+e2?,a3(1+e3?。 变形后单元体的体积为 7.4.2 体积应变 由体积应变的定义, 并在小变形条件下略去线应变乘积项的高阶微量, 可得 在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直平面上的正应力之和成正比, 而与切应力无关。 令 K为体积弹性模量，σm为平均主应力。 在单轴应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为 应变能密度的计算公式 在同一比例加载时, 对应于每一主应力, 其应变能密度等于该主应力在与之相应的主应变上所作的功, 而其它两个主应力在该主应变上并不做功。因此, 同时考虑三个主应力在与其相应的主应变上所作的功, 单元体的应变能密度应为 经整理得 在一般情况下, 单元体将同时发生体积改变和形状改变。可将主单元体分解为图示两种单元体的叠加。其中sm称为平均应力, 即 ?m ?m ?m (b) ?1-?m ?2-?m ?3-?m (c) ?1 ?2 ?3 (a) 在平均应力作用下(图b), 单