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课 堂 练 习 二、二维连续型随机变量函数的分布 例3 结 论 例4、 本 节 小 结 1、二维离散型随机变量函数的分布； （1）和的分布 （2）极值分布 2、二维连续型随机变量函数的分布 （1）和的分布（难点） （2）极值分布 3-* * §3.5 两个随机变量函数的分布 问题：已知二维随机变量( X ,Y )的概率特性, g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y ) 求：Z 的概率特性(分布函数、概率密度、分布律) 方法：转化为( X ,Y )的事件 下面按照随机变量的类型分别考虑！！ 一、二维离散型随机变量函数的分布 当( X ,Y )为二维离散型随机变量时， Z = g( X ,Y )也为离散型随机变量。设二维离散型随机变量( X ,Y )的分布律为 则Z = g( X ,Y ) 的分布律为 例1、 设二维离散型随机变量( X,Y )的概率分布为 X Y pij -1 1 2 -1 0 求 的概率分布 解 根据( X,Y )的联合概率分布可得如下表格： X -Y X +Y ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) P -2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 P X + Y -2 -1 0 1 2 P X - Y -1 0 1 2 3 （X,Y）分别取(1,0)、(2,-1)两个值时概率的和 （X,Y）分别取(1,-1)、(2,0)两个值时概率的和 例2、 X，Y 相互独立, X ,Y ~ 参数为0.5的0-1分布 求 M = max {X ,Y } 、 N = min {X ,Y } 的概率分布 解 Y X pij 1 0 1 0 0.25 0.25 0.25 0.25 X P 1 0 0.5 0.5 Y P 1 0 0.5 0.5 由独立性知： P ( X,Y ) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 0 1 1 1 0 0 0 1 max(X ,Y) min(X ,Y) max{X ,Y } P 1 0 0.75 0.25 min{X ,Y } P 1 0 0.25 0.75 例1（续）、 设二维离散型随机变量( X,Y )的概率分布为 X Y pij -1 1 2 -1 0 求 的概率分布 解 根据( X,Y )的联合概率分布可得如下表格： max(X ,Y) min(X ,Y) P ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -1 0 1 1 2 2 -1 -1 -1 0 -1 0 max(X ,Y) P -1 0 1 2 1/4 1/4 7/24 5/24 min(X ,Y) P -1 0 19/24 5/24 当( X ,Y )为二维连续型随机变量时， Z = g( X ,Y )也为连续型随机变量。设二维连续型随机变量( X ,Y )的概率密度函数为 则如何求Z的密度函数？ 1、一般方法： 其中, 2、几个常用的二维连续型随机变量函数的概率密度函数的求法。 和的分布 Z=X+Y（难点） 极大值分布 M=Max(X,Y) 极小值分布 N=Min(X,Y) 设(X,Y)为连续型随机变量,联合密度函数为 f (x,y),则 ? z ? z x +y= z 或 和的分布：Z = X + Y 特别地，若X ,Y 相互独立，则 或 或 这两个公式称为卷积公式。 课堂练习: 已知( X ,Y ) 的联合概率密度为 Z = X + Y ,