[工学]二元关系II.ppt

二元关系 关系的闭包 闭包的定义 闭包的构造方法 闭包的性质 闭包的相互关系 闭包的定义 定义 设R是非空集合A上的关系，R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R′，使得 R′满足以下条件： （1）R′是自反的（对称的或传递的） （2）R?R′ （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R″有 R′? R″。 一般将R的自反闭包记作r(R)，对称闭包记作s(R)，传递闭包记作t(R)。 设A={a,b,c,d}, R={a,b,b,a, b,c,c,d},则R和r(R),s(R),t(R)分别是什么？ 闭包的构造方法 定理 设R为A上的关系，则有 （1）r(R)＝R∪R0 （2）s(R)＝R∪R-1 （3）t(R)＝R∪R2∪R3∪… 证明思路 (1)和(2)：证明右边的集合满足闭包定义的三个条件。 (3) 采用集合相等的证明方法。 证明左边包含右边，即t(R)包含每个Rn。 证明右边包含左边，即R∪R2∪…具有传递的性质。 推论 推论 设R为有穷集A上的关系，则存在正整数r使得 t(R)=R∪R2∪…∪Rr 证明 由定理7.6和7.10(3)得证。 例题 求整数集合Z上的关系R＝{a,b | ab}的自反闭包和对称闭包。 解答 r(R)＝R∪R0＝{a,b|ab}∪{a,b|a＝b} ＝{a,b|a≤b} s(R)＝R∪R-1＝{a,b|ab}∪{b,a|ab} ＝{a,b|a≠b} 通过关系矩阵求闭包的方法 设关系R，r(R)，s(R)，t(R)的关系矩阵分别为M，Mr，Ms和Mt，则 Mr ＝ M＋E 对角线上的值都改为1 Ms ＝ M＋M′ 若aij＝1，则令aji＝1 Mt ＝ M＋M2＋M3＋… 沃舍尔算法 其中E是和M同阶的单位矩阵，M′是M的转置矩阵。 注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加。 通过关系图求闭包的方法 设关系R，r(R)，s(R)，t(R)的关系图分别记为G，Gr，Gs，Gt，则Gr，Gs，Gt的顶点集与G的顶点集相等。 除了G的边以外，以下述方法添加新的边。 1)考察G的每个顶点，如果没有环就加上一个环。最终得到的是Gr。 2) 考察G的每一条边，如果有一条xi到xj的单向边，i≠j，则在G中加一条边xj到xi的反方向边。最终得到Gs。 3) 考察G的每个顶点xi，找出从xi出发的所有2步，3步，…，n步长的路径（n为G中的顶点数）。 设路径的终点为 。如果没有从xi到 (l=1,2,…,k)的边，就加上这条边。当检查完所有的顶点后就得到图Gt。 例设A={a,b,c,d}，R={a,b,b,a,b,c,c,d,d,b}，则R和r(R)，s(R)，t(R)的关系图如下图所示。其中r(R)，s(R)，t(R)的关系图就是使用上述方法直接从R的关系图得到的。 闭包的主要性质 定理 设R是非空集合A上的关系，则 （1）R是自反的当且仅当r(R)＝R。 （2）R是对称的当且仅当s(R)＝R。 （3）R是传递的当且仅当t(R)＝R。 证明 （1）充分性。 因为R＝r(R)，所以R是自反的。 必要性。 显然有R ? r(R)。 由于R是包含R的自反关系，根据自反闭包定义有r(R)?R。 从而得到r(R)=R。 闭包的主要性质 定理 设R1和R2是非空集合A上的关系，且R1 ? R2，则 （1）r(R1) ? r(R2) （2）s(R1) ? s(R2) （3）t(R1) ? t(R2) 证明：(1)任取x,y，有 x,y∈r(R1) ? x,y∈R1∪IA ? x,y∈R1 ∨ x,y∈IA ? x,y∈R2 ∨ x,y∈IA ? x,y∈R2∪IA ? x,y∈r(R2) 关系性质与闭包运算之间的联系 定理 设R是非空集合A上的关系， （1）若R是自反的，则s(R)与t(R)也是自反的。 （2）若R是对称的，则r(R)与t(R)也是对称的。 （3）若R是传递的，则r(R)是传递的。 证明：略  从这里可以看出，如果计算关系R的自反、对称、传递的闭包，为了不失去传递性，传递闭包运算应该放在对称闭包运算的后边，若令tsr(R)表示R的自反、对称、传递闭包，则 tsr(R)=t(s(r(R))) 等价关系与划分 定义 设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。设R是一个等价关系，若x，y∈R，称x等价于y，记做x～y。 举例 (1)平面上三角形集合中，三角形的相似关系。 (2)人群中的同性关系。 例 设A＝{1,2,…,8}，如下定义A上的关系R：R＝{