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数学建模培训 一阶偏微分方程模型 偏微分方程的相关概念 偏微分方程：一个包含有多元未知函数及其偏导数的等式。方程中所含未知函数偏导数的最高阶数称为该方程的阶。如： 一阶线性偏微分方程 一阶齐次线性偏微分方程 齐次线性偏微分方程的Cauchy问题 非齐次线性偏微分方程 一阶拟线性偏微分方程 带年龄结构的线性人口发展模型 线性模型的建立 非线性模型的建立 偏微分方程的傅里叶变换解法 傅里叶变换及其基本性质 傅里叶变换法求解偏微分方程 偏微分方程的拉普拉斯变换解法 拉普拉斯变换及其基本性质 拉普拉斯变换法求解偏微分方程 性质1 性质2 性质3 性质4 其中定义卷积 性质5 例 求解定解问题 关于x进行傅里叶变换，记F[u]=U，F[?]=?，则有 其解为 于是原问题的解为 而 故 设 f(t) 在t≥0有定义，若积分 (s=?+i?为复变量， ? 0)在s的某一范围内收敛，则称 为f(t)的拉普拉斯变换，记为L[f]；反之，称f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换，记为L–1[f] 。 特别地， * 等。 　　如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的，则称它是线性的；如果它关于所有最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性的。 定解问题：定解条件通常包括边界条件和初始条件两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解问题，包括初值问题（Cauchy问题）、边值问题和混合问题。 方程的解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续的各阶偏导数，且该函数代入方程使得方程在某区域内成为恒等式，则称该函数为方程在该区域内的解（古典解）。满足某些特定条件的解称为特解，这些条件称为定解条件。一般情况下，一个具有n个自变量的m阶方程的解可以含有m个n-1元任意函数，这样的解称为通解。 (1) 显然方程有平凡解u=常数。一般求其非平凡解。 　　以下以含有3个自变量的方程为例，一般形式为 (2) 　　常微分方程组 (3) 称为方程(2)的特征方程组，每一条积分曲线 称为方程(2)的特征线。 　　若由特征方程组(3)推出函数 恒为常数，则称该函数为方程组(3)的一个首次积分。 　　若特征方程组(3)的3个独立的首次积分为 则特征方程组(3)的通解为 例1. 求解方程组 解：由 得 ，因此得到一个首次 积分为 再由 得 ，因此得到另一个首次积分为 于是原方程的隐式通解为 　　由(3)可得 (4) 若(4)的一个首次积分为 的一个首次积分。 于是得到方程组(3)的一个等价形式： ，则它也称为(3) 　　对于一阶齐次线性偏微分方程(2)与它的特征方程组(3)或(4)，我们有以下结论： 　　证明从略。 定理1：连续可微函数 是(2)的解的充分必要条件是 是(4)的首次积分。 定理2：如果 是(4)的两个独立的首次积分，则它们的任意连续可微函数 　　　是(2)的通解。 例2. 求解方程 解：特征方程组为 或 首次积分为 于是原方程的隐式通解为 ，其中 ? 为任意二元连续可微函数。 (5) 其中 f 为已知函数。 例3. 求解Cauchy问题 解：特征方程组为 首次积分为 于是原方程的通解为 ，其中 ? 为任意二元连续可微函数。 　　将该解代入初始条件，得 于是 从而原Cauchy问题的解为 (6) 其中 f , g为已知函数。 　　其特征方程组为 将前面两个等式解出后代入最后一个条件即可求出三个首次积分，从而得到通解。 (7) 其特征方程组为 (8) 　　以两个自变量的方程为例。 设其首次积分为 ，则(7)的隐式 通解为 例4. 求解方程 解：特征方程组为 首次积分为 于是原方程的隐式通解为 其中? 为任意二元连续可微函数。 例5. 求解Cauchy问题 解：特征方程组为 首次积分为 于是原方程的隐式通解为 其中? 为任意二元连续可微函数。 　　将该解代入初始条件，得 于是有 ，解得 再由初始条件得Cauchy问题的解为 考虑一个稳定社会的人口发展过程。设人口数量不仅和时间 t 有关，还和年龄 a 有关。若人口数量很大，假设按年龄连续分布。以函数 p(a, t) 表示人口在任意时刻 t 按年龄 a 的分布密度，则在时刻 t，年龄在区间[a, a+da]中的人口数量为 p(a, t)da，因此在时刻 t 的人口总数为 若不考虑死亡，则在时刻 t+?t，年龄在[a, a+?a]中的人口数量 p(a, t+?t)?a，应等于在时刻 t，年龄在区间[a??t, a+?a??t]中的人口数量p(a??t, t)?a，即 令?t?0，有 因此 p(a, t)应满足 但实