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第五章 定积分 第二节 微积分基本公式 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 内容小结 令 令 牛顿—莱布尼茨公式 微积分基本公式表明： 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 例6 求 原式 例7 设 , 求 . 解 解 例7 求 解 由图形可知 例8 求 解 做法正确吗? 说明: 应用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分 时，一定要注意定理条件是否满足。 * * １．定积分的概念：特殊和式的极限． 2．定积分存在的必要条件和充分条件 充分条件 3．定积分的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 规定: 命题 性质5的推论： （1） （2） 性质5 解 推论 例2 柯西-施瓦茨不等式 闵可夫斯基不等式 证 被积函数非负 证 即证 柯西-施瓦茨不等式 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6 解 解 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 使 即 积分中值公式的几何解释： 解 由积分中值定理知有 使 变速直线运动中路程函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 启示： 定积分是否可以表示为其被积函数的原函数在积分区间上的增量？ 考察定积分 记 积分上限函数 积分上限函数的几何意义 曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。 积分上限函数的性质 证 由积分中值定理得 推论 （1） （2） (3) 证 例1 已知 求 解 例2 解 解 例3 求 解 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 证 证 令 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 定理 3（微积分基本公式） 证