[工学]数字信号处理23.ppt

第二章 z变换 2.1 引言 2.2 z变换的定义及收敛域 2.3 z反变换 2.4 z变换的基本性质和定理 2.5 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数及频率响应 回顾： 2.2 z变换的定义及收敛域 几种序列的收敛域及特例： 常用z变换可写成公式形式： 2.3 z反变换 一. z反变换的定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作z反变换。 二、求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。 1、围线积分法（留数法） 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内解析，则在此区域可展开 成罗朗级数的形式： 对比 和z变换的定义 可知： 留数定理： 若函数 在围线c上连续，在c内有K个极点zk，在c外有M个极点zm（K,M为有限值），则有： 所以： 求留数的方法： 1、当Zr为一阶极点时的留数： 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数： [例2-5]: 已知 ， 求z反变换。 解: 如图所示，取收敛域的一个围线c， 分两种情况讨论： （1）n≥－1时， （2）当n-1时， zn+1构成|n+1|阶极点，极点为z=0。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为|n+1|阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点: [例2-6]: 已知 ， 求z反变换。 解:由收敛域可知， 如图所示，取收敛域的一个围线c，可知 当n≥0时, C内有两个一阶极点 ， 所以 所以： 2、部分分式展开法 通常，X(z)可表示成有理分式形式： 如果能将X(z) 展开成几个简单的分式的和的形式，而简单形式的z反变换可通过查表2-1直接求得。 也就是： 如：收敛域在 的 原序列是: 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式(负指数幂形式) 其中，M≥N时，才存在Bn， M=N 时只有B0(常数)； Zk为X(z)的各单极点; Zi为X(z)的一个r阶极点。系数Ak，Ck分别为： 系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）： [例2-7]：利用部分分式法，求 的z反变换。 解：去掉z的负幂次 在正幂次中，X(z) 一般均含有分子因子z。 求系数A1、A2: 若用待定系数法求系数A1、A2: [例]：利用部分分式法，求 的z反变换。 解： [例]：利用部分分式法，求 的z反变换。 解： 3、长除法 因为 x(n) 的z变换为z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成z的正幂级数。 [例2-6] 试用长除法求  的z反变换。 回顾：2.3 z反变换 求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。 重点：部分分式展开法 部分分式展开法: