[工学]数学物理方程 第九章第一讲.ppt

数学物理方程 数学物理方程主要是描述各种物理、力学等自然现象的偏微分方程和积分方程，本课程只介绍其最基本的内容，即三大类二阶线性偏微分方程方程的基本性质及其求解方法。 第九章 典型方程与定解问题 9.1 典型方程的建立 9.1.1 波动方程的导出 9.1.1 波动方程的导出 9.1.1 波动方程的导出 9.1.1 波动方程的导出 9.1.1 波动方程的导出 9.1.2 热传导方程的导出 9.1.2 热传导方程的导出 9.1.2 热传导方程的导出 9.1.2 热传导方程的导出 9.1.2 热传导方程的导出 9.1.2 热传导方程的导出 9.1.2 热传导方程的导出 9.1.2 热传导方程的导出 9.1.2 热传导方程的导出 9.1.4 稳定问题 9.1.4 稳定问题 9.1 典型方程的建立 9.2 定解条件与定解问题 9.2.1 有界弦振动的定解条件 9.2.1 有界弦振动的定解条件 9.2.1 有界弦振动的定解条件 9.2.1 有界弦振动的定解条件 9.2.1 有界弦振动的定解条件 9.2.1 有界弦振动的定解条件 9.2.1 有界弦振动的定解条件 9.2.2 三维热传导方程定解条件 9.2.2 三维热传导方程定解条件 9.2.2 三维热传导方程定解条件 9.2.2 三维热传导方程定解条件 9.2.2 三维热传导方程定解条件 9.2.3 定解问题 9.2.3 定解问题 9.2.3 定解问题 9.2.4 定解问题的适定性 9.3 线性方程与迭加原理 9.3.1 方程的一般名称 9.3.1 方程的一般名称 9.3.1 方程的一般名称 9.3.2 线性方程的叠加原理 9.3.2 线性方程的叠加原理 9.3.2 线性方程的叠加原理 9.3.2 线性方程的叠加原理 (3) 不同介质之间的热传递：第三边界条件 设Ω的边界Г的另一边是另一种介质，与Г接触的温度是 牛顿定律：通过Г上的面积元dσ,从一种介质流到另一种介质的热量 与两介质的温度差成正比，与 成正比： 通过Ω的边界Г流出Ω的热量 服从Fourier 实验定律： 三类边界条件的统一形式： 其中 g为已知函数。 第一边界条件： 第二边界条件： 第三边界条件： 如果空间变量的取值范围的边界是空集，则此时只需考虑初值问题，也称Cauchy问题，例如，如下三维波动方程初值问题： 二维热传导方程初值问题： 如果空间变量的取值范围的边界集非空，则需在初值条件和边值条件下求解微分方程，称为初边值问题或混合问题；例如：如下第一类边界条件混合问题： 对于描述稳定现象的微分方程，由于与时间无关，自然无法提初值条件，只能边值条件，例如： 第一边值问题 第二边值问题 第三边值问题 对于定解问题，有这样的一些问题需要研究： (1) 解的存在性：解是否存在，根据实际意 义，解应该存在是一回事，数学上严格 证明其解一定存在是另一回事。 (2) 若解存在，有多少个解？是否唯一？这 是唯一性问题。 (3) 定解条件有微小误差时，其解函数是否 也有微小误差？这是稳定性问题。 9.3.1 偏微分方程的一般名称 偏微分方程：含有(一个或多个)多元未知函数及其偏导数的式子(一个或多个)，称为偏微数方程。其一般形式为 或 方程的阶数：偏微分方程中含未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程的阶数。 例如： 线性方程(线性方程组)：如果一个偏微分方程或方程组对所有未知函数及其偏导数都是一次的，则其为线性方程或线性方程组。否则称为非线性方程或非线性方程组。 拟线性方程：一个偏微分方程，如果只对未知函数的最高阶偏导数是一次的，则称为拟线性方程。 半线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，但对于低阶偏导数是非线性的，这种方程称为半线性偏微分方程。 例： 如果 则此偏微分方程是拟线性偏微分方程。 如果 则此偏微分方程是半线性偏微分方程。 方程的解：如果将一个函数代替方程中的未知函数，能使方程变成恒等式，则称这个函数为方程的一个解。 以n个变元的二阶偏微分方程为例： 二阶线性偏微分算子 其中 是自变量， 是 的函数 二阶线性偏微分方程 * * 本章将介绍三大类偏微分方程的来由、偏微分方程定解问题的提法、偏微分方程的简单分类和线性偏微分方程的简单性质等基本内容。 波动方程的导出 设有一根两端拉紧的均匀柔软细弦，其长为L。当弦作微小横振动时，求弦上各点的运动规律(不妨设弦的两端是固定的)。 在弦作微小横振动时所处的平面上建立一个直角坐标平面，使得弦的平衡位置处于x轴的区间[0,L]上，则其所的运动规律可用一函数u(x,t)来表示。 只作微小横振动： 由牛顿力学定律： 弦作微小横振动： 从而有： 由于 所