[工学]数学物理方程_第十章 分离变量法-第一讲.ppt

第十章 分离变量法 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10-1 有界弦的自由振动 10-1 有界弦的自由振动 10-1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.1 有界弦的自由振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的强迫振动 10.2 有界弦的自由振动 10.2 有界弦的强迫振动 作 业 习题10 第1、3、4、5、6题 所以 由边界条件可得： 同理 所以 记 则 同理 所以，定解问题 的解函数为 其中， 为如下方程的全体正解： 对于长为L,两端固定的弦在外力作用下的振动，可归结为求如下定解问题： 若 是如下定解问题的解函数： 为如下定解问题的解函数： 则定解问题 的解函数必为 由10-1-11和10-1-12式可知： 分离变量法的关键思路是将定解问题的解函数表达成广义Fourier级数形式： 设 对于定解问题 ，设其解函数为 则 将其代入定解问题 中的微分方程中： 从而有： 又由初始条件容易求得： 所以， 是如下定解问题的解函数： 可用常数变易法求解此定解问题。 常数变易法的求解过程： 用常数变易法求解如下常微分方程初值问题： 设 则 令 则 所以， 是如下方程组的解： 解之得： 取 得 所以，定解问题 的解函数为 显然： 若取 则有 所以，定解问题 的解函数为 所以，定解问题 的解函数为 其中 分离变量法的总体思路： 使用分离变量法的两个关键：以两个自变量的二阶偏微分方程为例，设 ， 第一个关键：能否分离 * 分离变量法简介 分离变量法又称Fourier级数法或驻波法，这个方法可用于部分初边值问题的求解，是工程技术中常用的方法之一。 主要思路：若函数 满足一定条件，则 若t为参数： 显然，将参数就理解为另一个变量，结论也应该成立！也就是说，在一定条件下，有： 分离变量法的思路：如果某个偏微分方程的解有这种分离变量形式的解，则其求解将得到简化，若这种形式的解有多个，将这样的形式解作一个线性组合，令其组合系数满足定解条件，则可得到某个定解问题的求解方法。 10.1.1 两端固定 考虑如下最简单的定解问题： 设偏微分方程10-1-1具有如下分离变量形式的满足边界条件的非零解： (1.1) 则由方程10-1-1可得： 由边界条件可得： 由此可知： 是如下边值问题的非零解： (1) λ0 也就是说：λ0时， 只有零解。 (2) λ=0: 也就是说，λ=0时， 也只有零解。 (3) λ0: 利用边界条件，可得： 将 代入10-1-5式得 在 中取D=1，可得： 设定解问题(1.1)的解函数为 由初始条件可得： 因为 所以 用同样的方法可求得： 由此可得：初边值问题(1)的形式解函数为 其中 在一定条件下，(1.1)的形式解函数就是其解函数，其证明过程此处从略！因此(1.1)的解的存在性得以证明。 例： 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速度为0，初位移为 (这个数值与弦的材料的物理性质有关)，求弦作微小横振动时的位移。 解：设位移函数为 ，它是定解问题 显然，这个问题的Fourier级数形式解可由(10-1-11)给出，其系数为 因此，所求的解函数为 10.1.2 两端自由 求解如下定解问题： 还是用分离变量法：设定解问题中的偏微分方程有如下分离变量形式