[工学]现代控制理论第四章.doc

第四章 稳定性与李亚普诺夫方法 自动控制系统最重要的特性是稳定性问题，如何判断一个系统是否稳定以及怎样改善其稳定性乃是系统分析与设计的一个首要问题。系统的稳定性—表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后系统自身仍有能力恢复在原来的平衡状态。 早在1892年俄国数学家李亚普诺夫提出判定系统稳定性问题为两种方法，李亚普诺夫第一法和第二法。 §4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 线性系统的稳定性只决定于系统的结构与参数，而与系统的初始条件及外界扰动无关。非线性系统的稳定性与初始条件与外界扰动的大小有关。李亚普诺夫第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统等的方法。 系统状态的运动及平衡状态： 设所研究系统的齐次状态方程为： （4－1） 式中：——维状态矢量，——与同维的状态矢量，它是状态矢量的各元素和时间的函数，为时变的非线性函数，如果不显含，则为定常的非线性函数。 在给定初始条件下，有唯一解： （4－2） ，为初始状态。 是从开始观察的时间变量。 上式是描述系统的运动状态的轨迹。 若系统式（4－1）存在状态矢量，对所有，都使： （4－3） 成立，则称为系统的平衡状态。如果系统是线性定常的： （4－4） 当为非奇异矩阵时，的解是系统唯一的平衡状态；为奇异矩阵时，系统将有无穷多个平衡状态。 对于非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态，它们是由式（4－3）所确定的常数解。例： （4-5） 有三个平衡状态：，， 线性系统（定常）只有一个平衡点，非线性时变系统等有多个平衡点，应分别讨论。 李亚普诺夫意义下的稳定性： 若用表示状态矢量与平衡状态的距离，用包含所有各点的一个球域表示以为中心，为半径的超球体。 （4-6） ——为欧几里德范数。 （4－7） 当很小时，则称为的邻域。 若有，则意味着。 若式（4－1）的解： ， （4－8） 则式（4－8）表明齐次方程式（4－1）由初态或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。 对式（4－1）描述的系统对于任意选定的实数，却对应存在另一实数,使得当时，从任意初态出发的解都满足： ， （4－9） 则称平衡状态为李氏意义下的稳定，其中实数与有关，一般也与有关，如果与无关，称这种平衡为一致稳定。 稳定的平衡状态及其状态根轨迹 渐近稳定 如果平衡状态是稳定的，而且当无限增长时，轨线不仅不超出，而且最终收敛于，则称这种平衡状态渐近稳定。 渐近稳定是一个局部概念，确定某个平衡状态的渐近稳定并不意味着整个系统就能正常运行。渐近稳定区域越大，稳定性能就越好。 大范围渐近稳定 如果从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐进稳定性，则称这种平衡状态大范围渐近稳定。它的必要条件是在整个状态空间只有一个平衡状态点，对线性系统最为适用。 对于非线性系统，使为渐近稳定平衡状态的球域一般是不大的，常称为小范围渐近稳定。 不稳定 对于某个实数和任意实数，不管多么小，由内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过，则称这种平衡状态不稳定。 总之，球域限制着初始状态的取值，球域规定了系统自由响应的边界。 ①若为有界，则称稳定。 ②若不仅有界，而且有收敛于原点，则称渐近稳定。 ③若无界，则称不稳定。 §4－2李亚普诺夫第一法 通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于定常系统只需解出特征方程的根即可做出稳定性判断；对于非线性系统不是很严重的系统可通过线性化处理，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。 线性系统的稳定性判据 线性定常系统， (4-10) 的平衡状态渐近稳定的充要条件是阵所有特征值均具有负实部。系统状态的稳定性称为内部稳定性，工程中更注重系统的输出稳定性。 如果系统对于有界输入所引起的输出是有界的，则称系统输出稳定。线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数的极点全部位于的左半平面。 例： 解： ① 特征值，，故系统的状态不是渐近稳定的。 ②由系统的传递函数： 其传递函数的极点，位于S平面的左半平面，故系统输出稳定。另一极点被系统的零点对消了，在系统的输入输出特性中没有被表现出来。这说明当系统的传递函数不出现零、极点对消现象，并且矩阵的特征值与系统的传递函数的极点相同，系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一致。 非线性系统的稳定性 (4-11) 为系统的状态方程，为平衡状态。 与是同维的矢量函数，对有连续的偏导函数。 为讨论系统在处的稳定性，可将非线性矢量函数在的邻域展开成泰勒级数，得： (4-12) (4-13) 令，取式（4－12）的一次近似式，得系统线性化特征方程： ，式中 (4-14) ①如果方程式（4－15）中系数矩阵的所有特