[工学]理论力学-10D.ppt

* 例：已知 大小均为常量，圆盘质量为m，半径为R， 求转轴作用在支座C、D的附加动压力。 * 上节内容回顾 一、惯量矩阵与平行移轴定理 二、定点运动刚体的动量矩计算 三、刚体定点运动动力学解法 * 刚体定点运动的欧拉动力学方程 * 刚体定点运动动力学的牛顿力学解法 6 个一阶微分方程 * 刚体定点运动的动能: 刚体定点运动动力学解法二：拉格朗日力学 如果 x’ y’ z’ 是刚体的惯量主轴 * 取欧拉角 (?, ?, ? ) 为广义坐标, 引入欧拉运动学方程: 求出势能和广义力, 代入拉格朗日方程： 3 个二阶微分方程 * 专题讨论：重刚体定点运动的可积性 重刚体：刚体的主动力仅为重力 动力学方程： 或： 问题性质：已知力，求运动。 * 可积情况： 设 x’y’z’ 是过 o 点的惯量主轴，质心 C 在随体系中的坐标为 (1) 欧拉情况： (2) 拉格朗日情况： (3) 柯瓦列夫斯卡娅情况： 专题讨论：重刚体定点运动的可积性 * 例1：重刚体定点运动的欧拉情况 欧拉动力学方程： 两边分别点积 ，有： * 从中解出 ，代入欧拉动力学方程的 第三个方程， 再由欧拉运动学方程，积分出欧拉角。 机械能守恒 角动量守恒 * 欧拉情况下动力学对称刚体的运动： 如果： 则称刚体动力学对称 由： 得：在定系中 是常矢 由： 取定系的 z 轴与 重合： * 欧拉情况下动力学对称刚体的运动： * * 结论：在任意的初始条件下，欧拉情况下的动力学对称刚体作规则进动. 确切地说：欧拉情况下，对任意的初始条件，动力学对称刚体绕对称轴匀速自转，而对称轴绕不变的角动量矢(由初条件定)作规则进动. * 例2：重刚体定点运动的拉格朗日情况 * 欧拉动力学方程 * 欧拉动力学方程 欧拉运动学方程 * 系统的守恒量 1. 机械能守恒 * 系统的守恒量 2. 关于 z’ 动量矩守恒 * 系统的守恒量 3. 关于 z 动量矩守恒 * 例2：重刚体定点运动的拉格朗日情况 * L不显含时间 t,?,ψ，故有两个循环积分和能量积分 结论：3自由度有3个首次积分，故理论上可积。 当初始条件适当，方程存在规则进动的特解： 关于 z’ 动量矩守恒 关于 z 动量矩守恒 * 结论(动力学对称刚体,且定点在对称轴上): 1. 如果刚体质心与定点重合, 则对任意的初始条件，刚体都作规则进动. 2. 如果刚体质心不与定点重合, 则在适当的初始条件下，刚体作规则进动. * §10-4、陀螺近似理论 陀 螺： 满足条件 的定点运动刚体。 一、陀螺规则进动的条件 由欧拉运动学方程： 令： 问题性质：已知运动, 求力 。 * 由欧拉运动学方程： 欧拉动力学方程： * 可视为大小为 ， 方向沿节线的矢量在 x’ ,y’ 上的投影. 而: 且: 沿节线方向. * 即: , 方向沿节线. 陀螺规则进动的基本公式: 已知运动 → 力 二、莱沙尔(Henri Resal)定理 在定系中: 定理: 刚体对固定点 o 的动量矩 的端点的速度，等于作用于该刚体的所有外力对同一点的主矩. 精确结果 * 三、陀螺近似理论 如果: 则: 四、陀螺近似理论的莱沙尔解释 如果： 则也有： * 四、陀螺近似理论的莱沙尔解释 相对于定系: 如果 的大小为常量 则当刚体作规则进动时， 的矢端划出一圆。 * 当刚体作规则进动时， 的矢端划出一圆。 由莱沙尔定理: 与精确解比较: * 陀螺力矩：陀螺转子作用在施力体上的反作用力矩 陀螺的特性：定向性、进动性、陀螺效应 : 附加动压力 * 陀螺的特性： 1. 定向性： 对于动力学对称的欧拉情况(称为平衡陀螺): 常矢 如果初始时仅让陀螺绕对称轴作定轴转动，则陀螺将一直绕对称轴作定轴转动。 2. 进动性： 如果有外力对o点有矩，则 和对称轴将向力矩(而不是力)的方向偏转。 只要高速旋转物体的自转轴被迫在空间改变方向(即发生强迫进动)，就会产生陀螺力矩，出现陀螺效应。 3. 陀螺效应：