[工学]第5章_常微分方程.ppt

解法：作变量代换，设 代入欧拉方程，即可化为以t 为自变量的常系数线性微分方程 2.微分方程组的解法(消元法) 一阶线性微分方程的标准形式 （i）用求导、积分、四则运算等由方程组中消去一 个未知函数及其导数，得一个只含一个未知函数的高阶微分方程 （ii）解式（i）中求得的微分方程，得其通解. （iii）把式（ii）中求得的通解代入原方程组，求出另一个未知数 2. 型方程 令 ,则 方程变为: 解出这个一阶方程的通解: 则原方程的通解为: 例: 令 ,则 方程变为: 解得: 例: 令 ,则 因为 则 因为 所求特解为: 3. 型方程 令 , 方程变为: 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 则原方程的通解为: 例: 则 令 , 则 方程变为: 即: 或者 的通解为: 其通解为: 即 其通解为: 例: 令 , 则 方程变为: 即: 此题看作类型二和类型三 皆可,经过尝试用前者简单 练习 二、 高阶线性微分方程解的结构 一般形式: 当 时, 当 时, n阶线性非奇次方程 n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构. 1. 二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: 显然, y = 0 是(2)的解. 平凡解 讨论非平凡解: 定理. 如果 是(2)的两个解,则 也是(2)的解,其中 为任意常数. 证明: 由于 是(2)的两个解, 所以 将 代入(2)的左端: 则 也是(2)的解. 注意: 不一定是通解. 例如: 是(2)的解, 则 也是(2)的解. 此时 不是通解 函数的线性相关和线性无关 设 为定义在 I 上的 n 个函数, 如果存在n个不全为零的常数 ,使得 线性相关 否则,线性无关 例如: 线性相关 在任意区间I上: 取 线性无关 要使 ,必须 对于两个函数: 如果它们之比为常数,则线性相关;否则,线性无关 定理5.3.1 若 是(2)的两个线性无关的特解,则 是(2)的通解, 为任意常数. 例如: 是它的特解, 线性无关 通解 2. 二阶线性非奇次方程解的结构 一般形式: 定理5.3.2 若 是(3)的一个特解, 是(3)对应的奇 次方程(2)的通解,则 是(3)的通解. 则 是(2)的通解. 而 是(3)的一个特解 证明: 由于Y是(2)的的通解, 所以 将 代入(3)的左端: 注意: Y 中含有两个任意 常数,因此 y 是通解. 注:当(3)式的自由项为几项之和时,特解如何求出? 证明: 定理5.3.3 若 分别是 的特解,则 是方程 的特解. 将 代入(4)的左端: 则 是(4)的解. 3. 二阶常系数线性奇次方程 一般形式: p,q为常数 分析 由方程特点 假设 将 代入(1)得: 当 满足(2)时, 是(1)的一个特解. 特征方程 特征根 根据特征根的三种不同情形, 方程(1)的通解有三种情形. 1.特征根为相异实根 : 是(1)的两个线性无关