[工学]第5章定性和稳定性理论简介.doc

第5章 定性和稳定性理论简介 在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincaré,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 5．1 稳定性概念 考虑微分方程 ???????????????????????? ???????? ????(5.1) 其中函数对和t(-∞,+∞)连续，对满足局部李普希兹条件. 设方程(5.1)对初值(t0,x1)存在唯一解，而其它解记作.现在的问题是：当很小时，差的变化是否也很小?本章向量的范数取.?是稳定的.否则是不稳定的. 假设是稳定的，而且存在，使得只要满足 就有 则称(5.1)的解是渐近稳定的. ????为了简化讨论，通常把解的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记,作如下变量代换. 令 ??????????? ????? (5.2) 则 ?????????? 于是在变换(5.2)下，将方程(5.1)化成 ? ??? ?????????(5.3) 其中.这样关于(5.1)的解的稳定性问题就化为(5.3)的零解y=O的稳定性问题了.因此，我们可以在下文中只考虑(5.1)的零解x=O的稳定性，即假设，并有如下定义: 定义5.1 若对任意和，存在，使当时有 ?????????? ???????????? ????????? ? ??(5.4) 对所有的成立，则称(5.1)的零解是稳定的.反之是不稳定的. 定义5.2 若(5.1)的零解是稳定的，且存在δ10, 使当时有 则称(5.1)的零解是渐近稳定的. 例1 考察系统 的零解的稳定性. 解 对于一切，方程组满足初始条件,的解为 对任一，取，则当时，有 故该系统的零解是稳定的. ????然而，由于 所以该系统的零解不是渐近稳定的. 例2 考察系统 的零解的稳定性. 解 在上，取初值为的解为： 其中 对任一，取，则当时，有 故该系的零解是稳定的. 又因为 可见该系统的零解是渐近稳定的. ?例3 考察系统 的零解的稳定性. ????解 方程组以为初值的解为 其中. ? 由于函数et 随t 的递增而无限地增大. 因此,对于任意，不管取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证小于预先给定的正数，所以该系统的零解是不稳的. ?例4 考虑常系数线性微分方程组 ?????????? ?????????????? ? ????? ?? ????????(5.5) 其中,A是n×n阵.证明，若A的所有特征根都具严格负实部，则(5.3)的零解是渐近稳定的. ????证明 不失一般性，我们取初始时刻,设Φ(t)是(5.5)的标准基本解矩阵，由第3章内容知满足的解可写成 ????????????????????? ? ?????? ????? (5.6) 由A的所有特征根都具负实部知 ???????????? ?????????? ?? ??????(5.7) 于是知存在t10，使tt1时.从而对任意，取则当时，由(5.6)有 , ? (5.8) 当t∈[0,t1]时, 由解对初值的连续相依性, 对上述，存在δ1 0，当时 , 取，综合上面讨论知，当时有 , 即是稳定的. 由(5.7)知对任意有，故是渐近稳定的. 和通过微分方程所计算出来的导数的符号性质,就能直接推断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法. 为了便于理解,我们只考虑自治系统 ,