[工学]第七章_欧氏空间.ppt

第七章　欧氏空间 §７．１向量的内积 定义3、设W是欧氏空间V的一个非空子集.如果 ,且 与W中每一个向量正交，则称 与W 正交，记为: 说明： ①V中与W正交的向量所成的子集记为 , ② ③W是V的一个子空间. 定理4. 令W是欧氏空间V的一个有限维子空间. 那么 因而V中每一向量可以唯一写成 这是 , .是唯一的. 定理5 设W是欧氏空间V的一个有限维子空间， ξ是V的任意向量，η是ξ在W上的正射 影，那么对于W中任意向量 .都有 说明: 把在上的正射影叫做到的最佳逼近. 定义4 欧氏空间 是同构的，如果： （i）存在 的一个同构映射： （ii）对 都有 说明： ①（ii）称为保内积不变 ②如果 是欧氏空间 的同构映射，则 是向量空间 的同构映射，因而同构的 欧氏空间有相同维数。 定理6 说明： ① 任意n维欧氏空间与 同构。 两个有限维欧氏空间同构 维数相等。 ②欧式空间的结构完全被它的维数所决定。 7.3 正交变换 定义1.欧氏空间 的一个线性变换 叫做一个正交变换。如果对于任意 。都有： 说明：保持向量长度不变的线性变换叫正交 变换。（旋转变换，镜面反射等都是正交变换）。 定理1. 设 是欧氏空间的一个线性变换。则 （保持内积不变） 是正交变换 （ ） （保持长度不变） 说明：正交变换保持夹角不变 把 的标准正交基仍旧变成标准正交基。 关于 的标准正交基的矩阵 是正交矩阵。 7.4 对称变换和对称矩阵 定义2 若 是数域 上 阶矩阵，如果 等于它的转量，即 ，则称 是对称矩阵。 定义1 设 是欧氏空间 的一个线性变换。 则称 是一个对称变换。 如果对 ，有 定理1 设 是欧氏空间 的一个线性变换， 是对称变换 关于 的标准 正交基的矩阵是对称矩阵。 说明：对称变换与对称矩阵是1-1对应的。 定理2 实对称矩阵的特征根都是实数。 说明：由于我们是在实数域上引入向量的“内积”概念，即欧氏空间都是在实数域上进行讨论的，故对称变换 的特征多项式的根都是 的特征根。 定理3：n维欧氏空间的一个对称变换的属 于不同特征根的特征向量彼此正交。 说明：一个线性变换关于不同特征根的特征 向量是线性无关的。 定理4：设 是n维欧氏空间 的一个对称变换 那么存在 的一个标准正交基，使得 关于这个基的矩阵是对角形式。 说明：① 欧氏空间 的对称变换可以对角化。 即如果 是对称变换，则存在 的标 准正交基。使得 关于这个基的矩阵是对角形式。 ②要使 有一个正交基，而 在这个基下的矩阵是对角形式，则 一定是对称变换。即对称变换 可以使 有一个由 的特征向量组成的正交基。 ③ 对称变换与对称矩阵1-1对应，则由对称变换可对角化到对称矩阵可对角化。即设 是一个n阶实对称矩阵。则存在一个n阶正交矩阵 使得 是对角形式。 最后我们给出具体求U的方法: 由 故 第七章给出的求可递矩阵 的方法。 是对角形式,但这样求出的 ,一般说来还不是正交矩阵。( 是过渡矩阵),然而,注意到 的列向量是 的特征向量.对于不同特征根的特征向量来说是彼此正交的.因此,我们还需要再对 中同一个特征根的线性无关向量施行正交化手续就得到了要求的 .具体步骤: * * * * * * * * * * * * * * * * * * 一、教学目标 1．熟练掌握向量的内积，夹角，长度，距离概念； 2．掌握Schwarz不等式及应用； 3．理解标准正交基的概念，求法及应用，了解子空间正交 补的概念及应用； 4．理解正交变换，正交矩阵的概念、性质及关系； 5．理解对称变换的概念，性质及其与对称矩阵的关系。熟 练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法。 二、重点： 　　内积，欧氏空间，正交，标准正交组，标准正交基， 正交变换，对称变换。 三、难点：正交变换，对称变换。 四、课时： 20学时 定义1 设V是R上一个