[工学]第十三章演示稿.ppt

* 第十三章 拉普拉斯变换 前言： 拉普拉斯变换是由英国工程师哈维赛发展来的，是应用在电路上及控制工程上的相当好的一种方法。 在含有L,C的电路中，出现随时间变化的电压电流，则描述电路的方程是微分方程。在处理正弦电路稳态分析时，我们成功地引入了相量法，变微分方程为复变量代数方程，简化了正弦稳态分析。在暂态分析中处理高阶微分方程是困难的。本章介绍拉普拉斯变换就是一种化微分方程为代数方程的一般性方法，是线性电路分析的一种基本工具，与微分方程的时域分析不同，用拉普拉斯变换的方法进行电路分析称为频域分析，又称运算法。 本章重点： 1. 运算形式的电路定律和元件约束 2. 用运算法分析线性电路 二、拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0, ∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为： s=σ+ jω为复数，F(s)称为f(t)的象函数， f(t)为F(s)的原函数。 二、拉普拉斯反变换的定义 如果函数F(s)已知，它对应的原函数f(t)，由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，定义为： 13.1 拉氏变换的定义 例题：求下列函数的象函数。 1. 单位阶跃函数； 2. 单位冲击函数； 3. 指数函数 解： 1. 单位阶跃函数的象函数： 2. 单位冲击函数的象函数： 3. 指数函数的相函数： 13.2 拉氏变换基本性质 1. 线性性质 例题： 例题： 2. 微分性质 例题： 3. 积分性质 4. 延迟性质 例题： f(t) t 1 τ 证明： 5. 位移性质 若f(t)的象函数为F(s)，则eat f(t)的象函数为F(s－a) 例题： ※记住课本P294表13-1 13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s的多项式之比，即s的一个有理式： 式中m和n为正整数，且n≥m。 用部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式分解，求出D（s）＝0的根。下面分几种情况进行讨论： 1.如果D(s)＝0有n个单根，设n个单根分别是p1,p2…,pn。于是F(s)可以展开为： 待定系数Ki： 也可用求极限的方法来求： 例题： 解： k1=1， k2= -3， k3=3 2. 如果D(s)＝0有共轭复根p1=α+jω, p1=α-jω, 则 由于F(s)是实系数多项式之比，故K1,K2为共轭复数。 例题： 解： 有共轭复根：p1=-1+j2, p2=-1-j2 3. 如果D(s)＝0有重根，则应含(s-p1)n的因式。现设D(s)中含有(s-p1)3的因式， p1为D(s)＝0的三重根，其余为单根，则 例题： 解： § 13－4 运算电路 一、R, L(M), C电压电流约束关系的运算形式 1、电阻的运算电路 R i(t) u(t) + – R I(s) U(s) + – 2、电感的运算电路 + L i(t) u(t) – sL I(s) U(s) + – + Li(0-) – 电感的约束方程又可写成： I(s) U(s) + – 3、电容的运算电路 + – + – u(t) i(t) C + – + – U(s) I(s) + – 电容的约束方程又可写成： I(s) U(s) + – + – 4、互感的运算电路 M + – u1 i1 L1 – i2 + u2 L2 L1i1(0-) sM + + – – + – sL1 Mi2(0-) I1(s) U1(s) + – + – sL2 L2i2(0-) Mi1(0-) I2(s) + – U2(s) 二、基尔霍夫定律的运算形式 对任一节点: 对任一回路: 结论：电路理论中的定理和方程可以方便的推广到运算电路中去，并且形式上是相似的。 § 13－5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 1. 用运算法分析如图所示R、L、C串联电路，已知电感的初始电流iL(0-);电容的初始电压uc(0-) u(t) + – K(t=0) R – + C L i(t) U(s) + – K(t=0) R – + sL I(s) + – + – 解：画运算电路，由∑U(s)=0 若iL(0-)＝0, uc(0-)＝0, (1)式变为 ——电路的零状态响应。 ——电路的全响应 若U(s)＝0, (1)式变为 ——电路的零输入响应。 说明：由s=σ +jω, 当σ＝0时，s＝ jω, Z( jω)=R+ jωL+1/ jωC, 即相量电路的复阻抗。这就揭示了运算法与相量法之间的内在联系: 前者可就更广泛的激励(而不仅仅指正弦激励）研究 线性电路中的全时域解(而不仅仅是正弦稳态解)，所以运算法从激励和响应两方面说都是宽口径的。 U(s) + – K(t=0) R – + sL I(s) + – + – 解：U(