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第一篇 预备知识 第一章 集合论 1.0 内容提要 1.1 本章学习要求 1.2 集合 一、集合的概念 二、集合的记法 通常用带(不带)标号的大写字母A、B、C、...、A1、 B1 、C1 、...、X、Y、Z、...表示集合； 通常用带（不带）标号的小写字母a、b、c、...、a1、 b1 、c1 、...、x、y、z、...表示元素。 固定的符号 1.2.1 集合的表示方法 集合是由它包含的元素完全确定的，为了表示一个集合，通常有： 枚举法 隐式法（叙述法） 归纳法 递归指定 文氏图 1、枚举法（显示法） --列出集合中全部元素或部分元素的方法叫枚举法 枚举法的优缺点 是一种显式表示法 优点：具有透明性 缺点：在表示具有某种特性的集合或集合中元素过多时受到了一定的局限，而且，从计算机的角度看，显式法是一种“静态”表示法，如果一下子将这么多的“数据”输入到计算机中去，那将占据大量的“内存”。 2、隐式法（叙述法） 通过刻画集合中元素所具备的某种特性来表示集合的方法称为叙述法（隐式法） 一般表示方法：P＝{x|P(x)} 适用场景： 一个集合含有很多或无穷多个元素； 一个集合的元素之间有容易刻画的共同特征 其突出优点是原则上不要求列出集合中全部元素，而只要给出该集合中元素的特性。 例1.2.2 （1）A = {x|x是“discrete mathematics”中的所有字母}； （2）Z = {x|x是一个整数}； （3）S = {x|x是整数，并且x2＋1 = 0}； （4）Q+ = {x|x是一个正有理数}。 3、归纳法 ?归纳法是通过归纳定义集合，主要由三部分组成： 第一部分：基础。指出某些最基本的元素属于某集合； 第二部分：归纳。指出由基本元素造出新元素的方法； 第三部分：极小性。指出该集合的界限。 例1.2.3 集合A按如下方式定义： （1）0和1都是A中的元素； （2）如果a, b是A中的元素，则ab, ba也是A中的元素； （3）有限次使用(1)、(2)后所得到的字符串都是A中的元素。 试指出其定义方式。并举出集合A中的3个元素 4、递归指定集合 通过计算规则定义集合中的元素 5、文氏图解法 文氏图解法是一种利用平面上点的集合作成的对集合的图解。一般用平面上的圆形或方形表示一个集合。 1.2.2 集合与元素的关系 元素与集合之间的“属于关系”是“明确”的。 对某个集合A和元素a来说， a属于集合A，记为a?A 或者 a不属于集合A，记为a?A 两者必居其一且仅居其一。 罗素悖论 例 在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？ 1.2.3 集合与集合的关系 1、互异性－集合中的元素都是不同的，凡是相同的 元素，均视为同一个元素； {1,1,2}={1,2} 2、确定性－能够明确加以“区分的”对象； 3、无序性－集合中的元素是没有顺序的。 {2,1}={1,2} 例1.2.5 例1.2.6? 设A = {BASIC, PASCAL, ADA}， B = {ADA, BASIC, PASCAL}， 请判断A和B的关系。 解 根据集合元素的无序性和外延性原理可得， A = B。 三、包含和真包含关系 定义1.2.1 设A,B是任意两个集合，如果 B的每个元素都是A的元素， 则称B是A的子集合，简称子集(Subset)， 这时也称A包含B，或B被A包含，记作A?B 或B?A， 称“?”或“?”为包含关系(Inclusion Relation)。 如果B不被A所包含，则记作B A 。 例1.2.7 设A = {BASIC, PASCAL, ADA}， B = {ADA, BASIC, PASCAL}， 请判断A和B之间的包含关系。 解 根据集合间包含关系的定义知，A?B 且A?B 。 真包含关系 定义1.2.2 设A,B是任意两个集合，如果 B?A并且A≠B 则称B是A的真子集(Proper Subset)，记作B?A， 称“?”为真包含关系(Properly Inclusion Relation)。 如果B不是A的真子集，则记作B A。 例1.2.9 设A = {a}是一个集合，B = {{a}, {{a}}}，试问 {A}∈B和{A}?B 同时成立吗？ ∵ {A} = {{a}}，{{a}}∈B ∴ {A}∈B成立； ∵ {A} = {{a}}，{a}∈B ∴ {A}?B成立。 解 {A}∈B和A?B同时成立。 1.2.4 几个特殊集合 定义1.2.3 不含任何