[工程科技]二重积分习题课改_.ppt

补充轮换对称性结论: 若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则 证 所以, 例 习 题 课 二 重 积 分 知识要点 解题技巧 典型例题 其中 一、二重积分的概念与性质 是各小闭区域的直径中的最大值. 几何意义 二重积分I表示以D为底, 柱体的体积. z =f (x, y)为曲顶, 侧面是 （一）二重积分的定义,几何意义与物理意义 定义 1. 平面上有界闭区域D上二元有界函数 z = f (x, y)的二重积分 2. 当连续函数 以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面的曲顶 一般情形, 知识要点 物理意义 3. xOy平面上方的曲顶柱体体积 减xOy平面下方的曲顶柱体体积. 若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 则它的质量M为: 它的面 密度为连续函数 性质1(线性运算性质) 为常数, 则 (重积分与定积分有类似的性质) 性质2 将区域D分为两个子域 对积分区域的可加性质. （二）二重积分的性质 以1为高的 性质3(几何应用) 若 为D的面积 注 既可看成是以D为底, 柱体体积. 又可看成是D的面积. 特殊地 性质4(比较性质) 则 (保序性) 几何意义 以m为高和以M为高的 性质5(估值性质) σ为D的面积, 则 则曲顶 柱体的体积介于以D为底, 两个平顶柱体体积之间. 性质6(二重积分中值定理) 体体积等于以D为底 几何意义 域D上连续, σ为D的面积, 则在D上至少存在一点 使得 则曲顶柱 为高的平顶柱体体积. 设f (x, y)在闭区 (1)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于 则 x轴对称, f (x, y)对y为奇函数, 即 f (x, y)对y为偶函数, 即 则 其中 （三）对称区域上奇偶函数的积分性质 (2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于 则 y轴对称, f (x, y)对x为奇函数, 即 f (x, y)对x为偶函数, 即 则 其中 (3)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 其中函数 在区间[a, b]上连续. 二、在直角坐标系中化二重积分为 累次积分 (1) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续. 先对y 后对x的二次积分 其中函数 在区间[c, d]上连续. (2) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续. 先对x 后对y的二次积分. 极坐标系中的面积元素 三、在极坐标系中化二重积分为累次积分 θ (1)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续. 其中函数 (2)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续. 其中函数 极坐标系下区域的面积 θ (3)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续. 其中函数 再确定交换积分次 1. 交换积分次序: 先依给定的积分次序写出积分域D的 不等式, 并画D的草图; 序后的积分限; 2. 如被积函数为 圆环域时, 或积分域为 圆域、扇形域、 则用极坐标计算; 解题技巧 3. 注意利用对称性质, 数中的绝对值符号. 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应 将积分域分割成几个子域, 使被积函数在 每个子域中保持同一符号, 以消除被积函 解 例 计算积分 交换积分次序. 原式 = 典型例题 1.交换积分次序 计算 解 积分域是圆 故关于x、y轴、 故将被积函数分项积分: 而 极坐标 又 所以 原式 = 对称, 例 直线 2.利用对称性 证 所围立体的体积等于 是连续 的正值函数, 所求立体在xOy面上的投影区域为 有: 例 证明: 解 原式 = 用极坐标. 对称性 积分区域关于x轴对称 例 3.坐标系的选择 若函数 f (x, y)在矩形区域D: 解 上连续, 且 求 f (x, y) . 设 两边积分, 得 例 计算二重积分 D2 极坐标 例 将D分成D1与D2两部分. D1 其中 解 由于 直角坐标 3.被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分 其中 因此 其中 选择适当的坐标计算: 解 原式 = 例 其中 选择适当的坐标计算: 解 原式 = 例 计算 解 积分区域D关于x轴对称, 被积函数关于y为偶函数. 原式= 记D1为D的y≥0的部分. 则 D1 证明 证 交换积分次序 累次积分 法一 * *