[数学]1-5 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式.ppt

第五节　条件概率 一、条件概率 二、 乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结 贝叶斯资料 备份题 作业题 13.14.17.19.21.24 1.条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 乘法定理 Thomas Bayes Born: 1702 in London, EnglandDied: 17 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England 一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两方面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1. 引例 同理可得 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率. 2. 定义 3. 性质 例1 一盒子装有4 只产品,其中有板有3 只一等品 1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放 回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” 事件 B 为“第二次取到的是一等品”试求条件概 P(B|A). 解 由条件概率的公式得 例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表 示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有 解 例3 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字, 三个阄内不写字 , 五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相 同? 解 则有 抓阄是否与次序有关? 依此类推 故抓阄与次序无关. 摸球试验 解 例4 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型. 例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率. 解 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”. 1. 样本空间的划分 2. 全概率公式 全概率公式 图示 证明 化整为零 各个击破 说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果. 例6 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 设事件 A 为“任取一件为次品”, 解 由全概率公式得 30% 20% 50% 2% 1% 1% 称此为贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式 贝叶斯资料 证明 [证毕] 例7 解 (1) 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得 解 例8 由贝叶斯公式得所求概率为 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率. 先验概率与后验概率 解 例9 由贝叶斯公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症.