[数学]11--常微分方程.ppt

上 机 练 习 题 1、用符号法求解下列微分方程，并绘制积分曲线 （1） （2） ； （3） （4） 。 2、用数值法求解下列微分方程，并作积分曲线。 （1） （2） ； （3） （4） 3、列车以20m/s的速度行驶，当制动列车时可获得0.4m/s2的加速度。（1）求使列车停下的制动时间及制动期间列车滑行的路程。（2）作位移和速度的图形。 4、由于化工生产过程中，经常要排出一些不利于环境的物质。为了保持车间内的环境卫生，必须通入大量的新鲜空气。设有一个30×30×12m3的车间，其中的空气含有0.12%的CO2。现以含有CO2为0.04%的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少立方米才能在10分钟后使车间空气中CO2的含量不超过0.06%? 数学实验高等数学常微分方程 一、常微分方程的解析解（符号解） eq1,…eqn是微分方程，其中Dy表示 ，Dny表示 初始或边界条件 写成 输出写成 命令 S=dsolve(‘eq1’,…’eqn’,’独立变量’) S=dsolve(‘eq1’,…’eqn’,’初始条件’, ’独立变量’) 功能 求微分方程组的通解 求微分方程组的特解 备 注 独立变量的默认值为t 输出S是构架数组 时，表示输出n个解。 表 1 dsolve函数表 [例1] 求解伯努力方程 并绘制积分曲线。 创建dsolve01.m文件 y=dsolve(x*Dy+y=x*y^2*log(x),x) %绘制积分曲线 for i=-3:3 ezplot(subs(y,C1,i),[0+eps,4]) hold on end hold off axis([0,4,-3,3]) 运行结果： y = 2/x/(-log(x)^2+2*C1) 验算微分方程的解 创建yansuan01.m文件 syms x; y=dsolve(x*Dy+y=x*y^2*log(x),x); L=simple(x*diff(y)+y) R=x*y^2*log(x) 运行结果： L = 4/x*log(x)/(log(x)^2-2*C1)^2 R = 4/x*log(x)/(-log(x)^2+2*C1)^2 [例2] 求解柯西问题 并作出积分曲线。 创建dsolve01.m文件 y=dsolve(y*D2y=2*(Dy^2-Dy),y(0)=1,Dy(0)=2,x) ezplot(y,[-3*pi/4,pi/4]) 运行结果： y = tan(x+1/4*pi) [例3] 求解微分方程 并作积分曲线。 创建dsolve03.m文件 syms t x y; S=dsolve(Dx+2*x+Dy+y=t,5*x+Dy+3*y=t^2); %按sin(t)合并同类项 S=collect([S.x,S.y],sin(t)) for i=1:2 subplot(1,2,i) for j=-3:3 ezplot(subs(S(i),[C1,C2],[j,j+5])); hold on end hold off end 运行结果： S = [(2*C2+3*C1)*sin(t)+C1*cos(t)+t-t^2+3, (-3*C2-5*C1)*sin(t)-4+C2*cos(t)+2*t^2-3*t] 二、常微分方程数值解 表2 ode23及ode45函数表 命令 [T,Y]=ode23(‘F’,tspan,Y0) [T,Y]=ode45(‘F’,tspan,Y0) 方法 组合二、三阶龙格－库塔算法 组合四、五阶龙格－库塔算法 说 明 输 入 F是微分方程（或微分方程组）的函数文件 tspan=[t0,tn]是积分区间或tspan=[t0,t1,…,tn]表示计算这些自变量上的微分方程的解。 Y0是初始条件 输 出 T是自变量列向量 Y（一个微分方程）是因变量列向量；或Y(微分方程组)是矩阵，矩阵的行数与T的长度相等，矩阵的列数是方程的个数。 [例4] 用命令ode23求解初值问题 并作图与解析解比较。 建立函数文件fod1.m function F=fod1(x,y) F= -(1-2*x)/x^2*y+1; 创建ode01.m文件 [x,y]=ode23(fod1,[1,2],0); yy=dsolve(Dy+(1-2*x)/x^2*y=1,y(1)=0,x); yy=simple(yy) err=(abs(numeric(x.^2-exp(1./x