[数学]4 弹性力学平面问题有限元法.ppt

4 弹性力学平面问题有限元法 线性： （非线性）结构的应力与应变的关系（本构关系）呈线性变化。弹性：（塑性）结构在外力拆除后能够完全恢复原有形状的特性。静力分析： （动态分析）结构所受外力是不随时间变化的恒力。 一、弹性力学中的物理量载荷、应力、应变、位移 二、弹性力学基本方程 3-2 平面问题的有限元模型 位移插值函数应注意满足以下几个条件 （1）包括常数项（反映单元发生的整体移动） （2）包括一次项（反应发生的常应变） （3）尽量保证位移的连续性 使位移函数满足上述三个条件的目的就是要满足有限元解的收敛性，即当单元尺寸逐渐缩小时，有限元解收敛于实际问题的精确解。在单元边界上其值能由节点函数值唯一确定。 （4）几何各向同性（单元的位移分布不应与人为选取的坐标方位有关，即位移函数中坐标x,y应该是能够互换的） 3-3 平面问题的三角形单元求解 第二步：选择适当的位移插值函数 ANSYS 算例 4-1 板薄，外力不沿厚度变化，应力沿厚度了连续分布，故可认为整个薄板的所有各点与厚度方向有关的力均为零 可直接由 计算得到，故不作为独立的 未知量。 的存在说明了沿 向无限长的柱体的假设限 制了每一个横截面的纵向位移。当柱体受到垂直于 轴的外力作用时，这些衡截面之间必然产生挤压应力 。 物理方程 物理方程 物理方程 式中 称为平面应变问题的弹性矩阵 已知量 未知量 已知量 未知量 向尺寸远大于 平面内的尺寸（等截面长柱体） 向尺寸远小于板面尺寸（等厚薄平板） 形 状 体力、面力的作用面平行于 面，外力沿 轴无变化。 体力、面力的作用面平行 面，沿板厚均布且只作用于板边。 外 力 应 力 应 变 位 移 平面应变问题 平面应力问题 名 称 连续体被分割为只在节点处连接的单元集合，受力后原来是一体的公共边可能出现裂缝，原来单元应该均匀变形，这时也可能出现非均匀变形。 选择适当的单元位移插值函数来限制单元的变形，使得连续体尽管被人为地分割成单元的集合，而且只在有限个节点处相连，但模型仍然能够部分满足连续性的要求。 第一步：选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量 m j Fxi Fyi i u v (x,y) o y x 三角 形三节点单元 u1 v1 多项式项数越多，逼近精度越高。项数的多少应根据单元自由度数确定。三节点三角形单元有6个自由度，可以确定6个待定系数。 （4－9） 这一步的目的是求出待定系数。 第三步： 求单元中任一点位移 与节点位移 的关系 由于节点i、j、m在单元上，它们的位移自然也就满足 位移函数式。将三个节点坐标和位移值分别代入式中，得： 上式共有6个方程，可以求出6个待定系数。根据Gramer法则， 求出各待定系数 其中，节点的坐标值是已知的，令 为三角形单元的面积。 用节点坐标和节点位移表示的位移函数为 形函数，它们是坐标的函数，与节点坐标有关，而与节点位移无关。 其中， 以矩阵表示为 上式就是单元位移的插值表达式，它表明只有知道了节点位移，就可通 过形函数插值求出单元内任意一点的位移。 其中， 称为形函数矩阵； 为单元节点位移列阵。 第四步： 求单元应变—单元位移—节点位移之间的关系 第五步： 求应力—应变—节点位移之间的关系 由物理方程， 第六步： 求节点力与节点位移之间的关系 按节点号叠加单元刚度矩阵元素可得到结构总体刚阵，再引入一定的边界条件和外载荷就可以求解。最后的计算格式仍然是 第七步： 单元应力与节点位移的关系 二、约束条件处理 1、置大数法 总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，施加约束条件后的方程组则是有唯一解的。 施加零位移后，将零位移所对应的行和列划去，使方程组减小。 但对改变矩阵阶数的方法在编程序时不方便，而且对非零位移的情况无法处理。 将该位移分量所对应的主对角元素置为大数，再将载荷列阵{F}中对应的分量置为大数乘以已知的节点位移，而其余各行保持不变 2、置1赋0法 将总刚度矩阵中给定位移a 分量所对应行和列的主对角元素置为1，而其他元素皆变为0。在节点载荷列阵中，将零位移分量所对应的节点载荷也变为a 。 六节点三角形单元 三节点三角形位移插值函数是线性的，单元内的位移是线性变化的。 几何方程、物理方程可知单元内的应变和应力都是线性的。 3-5 六节点三角形单元和矩形单元 6 3 1 4 5 2 四节点矩形单元 y 0 的物理意义是：当节点i在某坐标方向发生单位位移而其他 节点的位移为零时，单元内的位移分布形状。 形函数具有以下三条性