[数学]特征向量计算.ppt

阜师院数科院 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 如果取 大于或等于A非对角线元素的绝对值 通过一次变换，非对角线元素的平方和 说明每次迭代非对角线元素的平方和不会超过 当经过k次迭代后对角线元素的平方和 A变成对角阵 3.雅克比法 cem@uestc.edu.cn 雅克比法的计算步骤： 找出A矩阵非对角元素绝对值最大的元素aij，确定i，j 用公式计算tan2θ，计算sinθ及cosθ 计算 以A1代入A，重复上面步骤，直到 3.雅克比法 cem@uestc.edu.cn Ak对角元素就是特征值，逐次变换矩阵Rk的乘机 其列向量即所求的特征向量。具体计算： 3.雅克比法 cem@uestc.edu.cn 例4 用雅克比法求对称矩阵 的特征值及特征向量。 解： 3.雅克比法 cem@uestc.edu.cn 3.雅克比法 cem@uestc.edu.cn 4.QR方法 对任意非奇异矩阵A，可以分解成一个正交阵Q和一个上三角阵R的乘积，称为A的QR分解。 如R的对角元是正实数，分解是唯一的。 若A是奇异的，则A有零特征值，取一个不等于A特征值的μ，则A- μI是非奇异的。 QR方法的基本过程： A=A1，对A1进行QR分解 交换次序R1Q1为A2 是正交相似变换，有相同的特征值。 cem@uestc.edu.cn 非奇异矩阵A，借助施密特正交化过程，实行A的QR分解。记A的n个列为 cem@uestc.edu.cn 4.QR方法 (1)矩阵A的QR分解 正交性且范数为1 正交规范向量，从上式依次计算 cem@uestc.edu.cn 4.QR方法 (1)矩阵A的QR分解 记 cem@uestc.edu.cn 4.QR方法 (1)矩阵A的QR分解 例5 对A作QR分解 解： cem@uestc.edu.cn 4.QR方法 (1)矩阵A的QR分解 cem@uestc.edu.cn 4.QR方法 (1)矩阵A的QR分解 记 cem@uestc.edu.cn 4.QR方法 (1)矩阵A的QR分解 A为n*n非奇异矩阵，设A1=A 设A的n个特征值满足条件 当 ，矩阵序列Ak收敛与三角阵R，于是R对角线上的元素就是所求特征值，当A是对称矩阵时，Ak收敛于对角阵。 cem@uestc.edu.cn 4.QR方法 (2) QR算法 改写公式 cem@uestc.edu.cn 4.QR方法 (2) QR算法 递推公式 cem@uestc.edu.cn 4.QR方法 (2) QR算法 * * * * * * * * * * * * * * * * * *cem@uestc.edu.cn *cem@uestc.edu.cn cem@uestc.edu.cn 第8章 矩阵特征值及特征向量的计算 数值计算方法－矩阵特征值及特征向量的计算 电子科技大学物理电子学院 赖生建 cem@uestc.edu.cn 主要内容 问题的提出 按模最大最小特征值计算 计算实对称矩阵的雅克比法 QR 法 1.问题的提出 在数学和物理中，需要处理线性方程组，方程组的特性就是其系数矩阵的特征，即求矩阵计算矩阵的特征值及其特征向量。如波导模式问题 其特征值就是代数方程 cem@uestc.edu.cn a11x1+ a12x2+····+ a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+····+ a2nxn = b2 ········································· an1x1+ an2x2+····+ annxn = bn φ(λ)是关于λ的n次多项式 也称为矩阵A特征方程。它的n个根，称为A的特征值。 λ是A的特征值时，相应的方程 的非零解x，称为对应特征值λ的特征向量。 cem@uestc.edu.cn 1.问题提出 问题： 当A的阶数比较高时，化简特征方程很复杂，求解特征方程也困难。 有些问题只要求最大特征值及特征向量。 有些问题只要求最小特征值及特征向量。 需要计算所有特征值及特征向量。 cem@uestc.edu.cn 1.问题提出 2.按模最大最小特征值求法 迭代计算方法。幂法是求解最大特征值及特征向量的方法。 设n阶矩阵有n个线性无关的特征向量x1, x2,…, xn，对应的特征向量λ1,λ2,…,λn，并按模的大小排列 有2种情况讨论。 cem@uestc.edu.cn （1） 任取初始向量v0，由矩阵A的n个线性无关的特征向量线性表示