[数学]第2章 随机变量及其分布.ppt

分布函数完整地描述了随机变量的统计 规律性，通过它，我们可以用高等数学 的工具来研究随机变量. X 的分布函数。 分布函数F(x)具有以下的基本性质: 1、F(x)是一个不减函数.对于任意实数x1,x2(x1x2)有 F(x2)-F(x1)=P{x1X?x2}?0. 2、 0?F(x)?1, 且 x X O 3、F(x+0)=F(x), 即F(x)是右连续的 解: 例9 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 的图形是阶梯状的图形,在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2). F(x)右连续 分布函数图 设离散型 r .v X 的分布律是 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… F(x) = P(X x) = 即F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和. 一般地 则其分布函数 例10 在区间[1,5]上任意掷一个质点,用X表示这个质点与原点的距离,则X是一个随机变量.如果这个质点落在[1,5]上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比，求X的分布函数。 解 另外, 容易看到本例中的分布函数F(x)对于任意x可以写成形式 其中 这就是说, F(x)是非负函数f(t)在区间(-?,x)上的积分, 在这种情况下我们称X为连续型随机变量. 第四节 连续型随机变量及其概率密度 一、概率密度及其性质 定义 如果随机变量 X 的分布函数可表示成 其中 为非负的函数,则称 X为连续型随机变量, f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或密度. 记作 概率密度函数f(x)的基本性质： 这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某随机变量的概率密度的充要条件. 另外,连续型随机变量还具有如下重要性质: 若 f (x) 在点 x 处续 , 则有 (1) 连续型r.v取任一指定实数值a 的概率均为0. 即 这是因为 请注意: 当 时 得到 概率为0 的事件未必不发生. (2) 对连续型 r.v X , 有 连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关. 例11 设随机变量X具有概率密度 解： （2）X的分布函数为 三种重要的连续型随机变量： 1、均匀分布 设连续型随机变量X具有概率密度 O a b x f(x) 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b). 如X~U(a,b), 则它落在(a,b)中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关. 任给长度为l的子区间(c,c+l), a?cc+l?b, 有 X的分布函数为 O a b 1 F(x) x 例12 设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测。试求至少有两次测值大于3的概率 2、 指数分布 设连续型随机变量X的概率密度为 其中q0为常数, 则称X服从参数为q的指数分布. 容易得到X的分布函数为 指数分布的另一种形式 此时的分布函数为 如X服从指数分布, 则任给s,t0, 有 P{Xs+t | X s}=P{X t} 事实上 此性质称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. 3、正态分布 设连续型随机变量X的概率密度为 其中m,s(s0)为常数, 则称X服从参数为m,s的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(m,s2). 显然f(x)?0, 下面来证明 令(x-m)/s = t, 得到 第二章随机变量及其分布 一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布律 三、随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布 主要内容 第一节 随机变量 为了全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 将随机试验的结果与实数对应起来, 即将随机试验的结果数量化, 引入随机变量的概念.  在随机试验完成时, 人们常常不是关心试验结果本身, 而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣.这样，我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化. 例1 在一袋中装有编号分别为1,2,3的3只球. 在袋中任取一只球, 放回. 再取一只球, 记录它们的编号. 计算两只球的号码之和. 试验的样本空间S={e}={i,j},i,j=1,2,3. 这里i,j分别表示第一,二球的号码. 以X记两球号码之和, 对于每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 如右上图所示. 1