[数学]第3章 计算方法数值积分.ppt

（三）复化柯特斯公式 将区间[xk-1,xk]四等分，取节点 在每个子区间使用柯特斯公式，并迭加： 1.0000 误差 T 0.785 0.215 S 1.00166 0.00166 C 0.99948 0.00052 Tn 0.99429 0.0057 Sn 1.00003 0.00003 Cn 1.000003 0.000003 （四）复化求积公式的截断误差 1. 复化梯形公式截断误差 在[a, b]上连续，那么： 2. 复化Simpson公式的截断误差 3. 复化Cotes公式的截断误差 （五）截断误差事后估计与步长选择 使数值积分达到预定的精度要求，必须估计误差，从而确定n和h。 1. 复化梯形公式 2. 复化Simpson公式 3. 复化Cotes公式 解：计算出 S1=0 S2=0 计算出 S4=0（六）复化梯形的递推算式 复化梯形公式计算Tn，[a, b] 区间n等分，n+1个点计算T2n，[a, b] 区间2n等分，2n+1个点 k取偶数时，是n等分点；k取奇数时，才是新增分点。 3.4 龙贝格（Romberg）方法 梯形公式计算简单，但收敛速度慢。将Tn，T2n按照某种线性关系，生成Simpson公式；将Sn，S2n按照某种线性关系，生成Cotes公式；将Cn，C2n按照某种线性关系，生成更高精度的求积公式——龙贝格公式，这种加速方法叫作龙贝格方法。 3.4.1 梯形公式精度的提高 这是比梯形公式精度高的Simpson公式。 3.4.2 辛普森公式精度的提高 这就是精度更高的Cotes公式。 3.4.3 柯特斯公式精度的提高 叫做龙贝格(Romberg)求积公式。 k 区间等分 n＝2k T2k S2k-1 C 2k-2 R2k-3 0 1 ①T1 1 21 ②T2 ③S1 2 22 ④T4 ⑤S2 ⑥C1 3 23 ⑦T8 ⑧S4 ⑨C2 ⑩R1 4 24 (11) T16 (12)S8 (13)C4 (14)R2 5 25 (15)T32 (16)S16 (17)C8 (18)R4 本 章 小 结 1. 插值型求积公式 2. Newton-Cotes求积公式 3. 复化求积公式（Tn，Sn，Cn） 4. 龙贝格方法 Homeworks 习题1、4、6、11 第3章 数值积分 3.1 引 言 3.2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 3.3 复化求积公式 3.4 龙贝格(Romberg)方法 3.1 引 言 解决函数 在区间 上的定积分问题，利用 牛顿-莱布尼茨公式： 科技应用中遇到问题： 数值积分：用容易计算的近似积分代替原有的定积分，也叫作近似积分。 3.1.1 插值型求积公式 设函数 在区间 函数值已知， （3-1） 公式（3-3）称为插值型求积公式，Aj为求积系数， xj叫作求积节点。 为插值型求积公式的截断误差，即余项。 注意：当 为n次多项式， ，则 ，此时有： 3.1.2. 求积公式的代数精度 （1）对于所有次数不超过m次的多项式f (x)都有 （2）对于某一个m＋1多多项式f (x)，有： 称积分公式（3-3）具有m次代数精度。 例题：确定求积公式 的代数精度。 解： 因为 ，所以该求积公式具有3次代数精度。 3.2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 变量代换： x=a+th 插值型求积公式可写成： 称为牛顿-柯特斯求积公式， 叫作柯特斯系数。截断误差： 在实际计算中，高阶牛顿-柯特斯公式数值稳定性差，有实用价值的仅仅是几种低阶求积公式。 （1）梯形公式 当n＝1时，[a, b], a, b 作为插值节点， 根据Cotes系数计算公式（3-5），得 于是插值型求积公式可写成： 3.2.1 几个低阶求积公式 称为梯形求积公式。 梯形公式的截断误差： 如果 梯形公式具有1次代数精度。 （2）辛普森（Simpson）公式 当n＝2时，[a, b]区间上 a， ， b 作为插值节点。 那么，插值型求积公式可写成： 称为辛