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第二章 控制系统的数学模型 主要内容: 1.数学模型的概念,建模的原则 2.传递函数 3.系统的结构图和信号流图 2-1 数学模型的概念 2.2 系统微分方程的建立 2-4 线性系统的传递函数 一.复习拉氏变换及其性质 1.定义 记 X(s) = L[x(t)] 2.进行拉氏变换的条件 1)t ? 0，x(t)=0；当t ? 0，x(t)是分段连续； 2)当t充分大后满足不等式? x(t)? ? Mect，M，c是常数。 3.性质和定理 1)线性性质 L[ ax1(t) + bx2(t)] = aX1(s) + bX2(s) 例2-6 求函数x(t)的拉氏变换。 例2-8 求e ?0.2 t 的拉氏变换。解： ③部分分式法 一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即 2.4.1. 线性常系数微分方程的求解 2-6 典型环节及其传递函数 2.惯性环节 微分方程式： 2-7 系统的结构图 (2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式 2-8 信号流图及梅逊公式 下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。 设有一系统，它由下列方程组描述： x2 = a12 x1 + a32 x3 x3 = a23 x2 + a43 x4 x4 = a24 x2 + a34 x3 + a44 x4 x5 = a25 x2 + a45 x4 学习指导与小结 （2）扰动输入下的闭环传递函数 令R(s) = 0有 至此，可以给出求单回路闭环传递函数的一般公式为 式中负反馈时取“+”号，正反馈时取“－”号。 （3）两个输入量同时作用于系统的响应 （4）控制输入下的误差传递函数 （5）扰动输入下的误差传递函数 （6）两个输入量同时作用于系统时的误差 2.7.4 结构图的等效变换 变换的原则：变换前后应保持信号等效。 1 . 分支点后移 G R C R G R C 1/G R 2 . 分支点前移 G R C C G R C 1/G C 4 .比较点前移 3 . 比较点后移 G F G R C + ? F R G C F + ? G R C + ? F F 1/G R G C + ? F 5 .比较点互换或合并 R1 C R2 + ? + ? R3 R1 C R2 + ? + ? R3 R1 C R2 + ? R3 ? 2.7.5 结构图的简化 对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。 R C G1 G2 G3 H1 H2 例2-17 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。 解：方法1 1/G3 R C G1 G2 G3 H1 H2 方法2 R C G1 G2 G3 H1 H2 R C G1 G2 G3 H1 H2 1/G1 例2-18 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。 R G1 G2 C G3 R G1 G2 C G3 解： R G1 G2 C G3 R G1 G2 C G3 G2 2.8.1 信号流图的基本概念 1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。 先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述： x2 = a12 x1 式中，为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。 x1 a12 x2 a43 a44 x1 a12 x2 x3 x4 x5 a23 a34 a45 a24 a25 a32 2.信号流图的基本元素 (1) 节点：用来表示变量，用符号“ O ”表示，并在近旁标出所代表的变量。 (2) 支路：连接两节点的定向线段，用符号“??”表示。 支路具有两个特征： 有向性 限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。 有权性 限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值表示。 混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。 3.信号流图的几个术语 节点及其类别 输入节点(源节点) 只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。