[数学]第二章 极限与连续.ppt

本章目录 第一节 数列的极限 第二节 函数的极限 第三节 变量的极限 第四节 无穷大量与无穷小量 第五节 极限的运算法则 第六节 两个重要极限 第七节 利用等价无穷小量代换求极限 第八节 函数的连续性 极限概念的引入 第一节 数列的极限 一、数列 例如， 第二节 函数的极限 例1 证明 两种特殊情况 : 例4 证明 第三节 变量的极限 第四节 无穷大量与无穷小量 一、无穷大量 第五节 极限的运算法则 第六节 两个重要极限 例3 求 （2） 例8 求 内容小结 思考与练习 第七节 定理2 . 设 说明: 第八节 函数的连续性 例3 证明函数 间断点的分类： 例8 求 内容小结 一、填空 二、计算 返回本章目录 利用等价无穷小量代换求极限 ? 是 ? 的高阶无穷小 ? 是 ? 的低阶无穷小 ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小 ? 是 ? 的 k 阶无穷小 ～ ～ ～ ～ ～ 常用等价无穷小： ～ ～ ～ ～ ～ 且 存在，则 证明： 例如， 同理可证第二个式子。 设对同一变化过程， ?、? 为无穷小， 无穷小的性质， 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则。 但，这种化简运算仅适用于乘除法，加减法不适用。 例如， 例1 解： 解： 例2 求 例3 求 解：因当 时， ～ 故 ～ 所以，原式 例4 解： 正解： 错 练 习 返回本章目录 五、在闭区间上连续函数的性质 一、函数改变量 二、连续函数的概念 三、函数的间断点 四、连续函数的运算法则 六、利用函数连续性求函数极限 一、函数改变量 定义2.11 变量t由初值 改变到终值 则称 为变量t的改变量。 等价定义： 设函数 y= f (x)在 有定义，若自变量x 从 改变到 则函数 y 的改变量为 函数的增量 例1 设正方形边长为x，求边长改变量为Δx 时， 面积的增量。 解： 设正方形的面积： 当边长变为x+Δx时，面积为： 则面积的改变量为： 特别地，当边长由2m改变到2.05m时，面积改变量为： 特别地，当边长由2m改变到1.95m时，面积改变量为： 例1 设正方形边长为x，求边长改变量为Δx 时， 面积的增量。 解： 设正方形的面积： 当边长变为x+Δx时，面积为： 则面积的改变量为： 注意：函数的改变量可以为正，也可以为负。 二、连续函数的概念 定义2.12 设函数y=f (x)在 有定义。若当x在 处取得该变量 时，有 则称函数f (x)在点 处连续。否则，间断。 例2 证明： 若函数 f (x)在点 处连续，则 令 则当 时， 即， 这样，就可以得到连续函数的等价定义。 注意：函数 在点 定义2.13 在 的某邻域内有定义，且 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续，必须同时具备下列条件： 存在； 有定义， 存在； 否则，间断. 若 在区间 上连续， 或称它是该区间上的连续函数. 定义2.14 注意：若 f (x)在 处左连续； 则称 f (x)在 若 处右连续。 则称 f (x)在 很显然， 在 内连续。 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 上每一点都连续，则称 在 内连续. 证： 即 这说明 在 内连续. 同理可证： 函数 在 内连续 . 三、函数的间断点 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在； (3) 函数 存在，但 处不连续，即间断： 设 在点 处不满足连续的条件，即满足 这样的点 下列三个条件之一，称函数 f (x) 在 虽有定义，但 有定义 , 且 称为函数 f (x) 的间断点。 在 处无定义； 定义2.15 如，函数 在点x=0处无定义，因此，在点 x=0 处间断。 例4 解： 左、右均不连续， 第一类间断点： 及 均存在， 若 称 若 称 第二类间断点： 及 中至少一个不存在， 称 若其中有一个为振荡无极限， 若其中有一个为 为可去间断点。 为跳跃间断点。 为无穷间断点。 为振荡间断点。 称 例4 解： 由定理2.6可知， 求 为有界变量， 且 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。 3.化无穷大为无穷小 解： 分子分母同除以 则 “ 抓大头” 原式 例5 求 同理， 为非负常数） 小结： (如P69 例4) (如P69 例5) (如P69 例6) 4.分解因式法 例6 求 例7 求 解： 解： 练习 5.分子分母有理化 例8 求 解： （分子有理化） 例9 求 解：原式 6. ∞-∞型 例10 求 解：原式 通分化简 例11 求 解：原式 分子有理化 ∞-∞型 练习 三、四则运算法则的应用 例12 已知 求 解： 因此， 例13 已知 求常数a，b。 解： 因分式函数极限存在，且 必有 因此，代入得