[数学]线性代数矩阵的初等变换.ppt

(1) 当?=1时, 则R(A)=R(B)=1, 故方程组有无穷多解, 且其通解为: 其中x2, x3为任意实数. 这时又分两种情形: (2) 当??1时, 1) 当??–2时, 则R(A)=R(B)=3, 故方程组有唯一解: 2) 当?=–2时, 则R(A)R(B), 故方程组无唯. 三、几个重要结论 由定理1可直接推出如下结论: 推论1: 线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是R(A)=R(A | b). 推论2: n元齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件是R(A)n. 将推论1再推广到矩阵方程情形得: 推论3: 矩阵方程组AX = B有解的充分必要条件是R(A)=R(A | B). 证明: 设A, B分别为m?n, m?l 矩阵, 则X为n?l 矩阵, 并把X和B按列分块, 记为 X=(x1, x2, ···, xl ), B=(b1, b2, ···, bl ), 则矩阵方程组AX = B 等价于l个向量方程: Axi = bi ( i =1, 2, ···, l ) 充分性: 若R(A)=R(A | B), 必要性: 设矩阵方程组AX = B有解, R(A) ? R(A | bi) ? R(A | B), 即 l 个向量方程 Axi = bi ( i =1, 2, ···, l )都有解, 故 R(A) = R(A | bi), 从而, 矩阵方程组AX = B有解. 则由于 则 l 个向量方程 Axi = bi ( i =1, 2, ···, l )都有解, 不妨设为 ( i =1, 2, ···, l ) 若记 A=(a1, a2, ···, an ), 则有 ?1ia1 + ?2ia2 + ··· + ?nian = bi ( i =1, 2, ···, l ) 对矩阵(A | B)=(a1, a2, ···, an | b1, b2, ···, bl )作初等列变换: cn+i – ?1ic1 – ?2ic2 – ··· – ?nicn ( i =1, 2, ···, l ) 将把(A | B)的后 l 列, 即B所在的列都变成0列, 故 (A | B) ～ (A | O) R(A) = R(A | O) = R(A | B). 因此, 由定理1和推论3可得如下结论: 推论4: 矩阵方程组AX = O只有零矩阵解的充分必要条件是R(A)=n. 下面证明上节留下的性质7. 性质7: R(AB) ? min{R(A), R(B)}. 证明: 设AB=C, 则矩阵方程AX=C有解X=B, 论3得: R(A)=R(A|C). 而R(C) ? R(A|C), 故R(C) ? R(A). 由推 另一方面, 由BTAT=CT 可证R(C) ? R(B). 因此有: R(AB) ? min{R(A), R(B)}. 三、小结 对n元线性方程组: R(A)=n ? Ax=0只有零解; R(A)n ? Ax=0有非零解; R(A)=R(A | b)=n ? Ax=b有唯一解; R(A)=R(A | b)n ? Ax=b有无穷多解; R(A)R(A | b) ? Ax=b无解. 对矩阵方程AX=B: R(A)=n ? AX=O只有零矩阵解; R(A)n ? AX=O有非零矩阵解; R(A)=R(A | B)=n ? AX=B有唯一矩阵解; R(A)=R(A | B)n ? AX=B有无穷多矩阵解; R(A)R(A | B) ? AX=B无解. 思考题解答 将(2)的通解代入(1)得: 故方程组(1)与(2)有非零公共解, (1)与(2)的所有非零公共解为: 思考题 表示成有限个初等方阵的 将矩阵A= 乘积. 思考题解答 A可以看成是由3阶单位矩阵E经4次初等变换: 而这4次初等变换所对应的初等方阵为: 而得. 由初等矩阵的性质得: §3.2 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 由上节讨论知: 任何矩阵Am?n, 总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵.行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在m?n矩阵A中任取 k 行 k 列( k?m, k?n ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A的k阶子式. m?n矩阵A的k阶子式共有 定义: 若在矩阵A中有一个 r 阶子式D非零, 且所有的 r+1阶子式(如果存在的话)都