[数学]统计学第10讲 第10章 单样本显著性检验.ppt

* * 第10章 单样本显著性检验 10.1 导论：平均数的抽样分布 1. 如何比较抽样分布的均数与样本来自的总体均数？ 2. 当增加抽样分布的样本量时，样本平均数如何变化？ 例1：大学生艾滋病知识问卷测试。设总体μ=50，σ=10。有多少大学生在40分到60分之间呢？ 图10-1a 有68%的大学生测试分数在40-60分之间 随机抽取一个大样本，其个体分数的分布见图10-1(a) 如果抽取样本量N=3的100个个样本，计算每个样本平均数，图10-1b 包含68%的样本均数，每个样本平均数会是一样吗？ 如果抽取N=20的100个个样本，计算每个样本平均数，图10-1c 样本平均数与总体平均数相差较小 如果抽取样本容量N=40的100个样本，计算每个样本平均数，图10-1d 样本平均数与总体平均数相差更小 从总体抽取一个样本的分布 总面积的68% =个体分数方差 样本平均数的分布 总面积的68% =样本均数的方差 =样本均数的标准差 样本平均数的平均数的标准差，就称为均数的标准误(standard error of mean)，如果总体标准差已知，则标准误： 10-1 如果总体标准差未知，则标准误： 10-2 无论总体标准差已知还是未知，标准误的大小取决于总体的变异与样本大小。 标准误= μ=50 σ=2 总体中个体分数 小样本 大样本 10.2 统计假设检验：已知总体均数和标准差 图a, 知总体μ和σ，从中抽取大量样本，见图b 图b,可以描述这些大量样本的平均数和标准差，可用来确定正态曲线下的概率值。 图c ,通过已知正态分布的概率关系，可计算任意一个样本的平均数有关的概率 10.2.1 样本平均数落在特定区间的概率 如前述，任一正态变量都可转化为标准正态分布，可根据 z 分数与正态曲线下的面积关系求概率 换言之，任给一个原始分数，只要知道该分数之外的面积比例，就可以知道与此相应的 z 值。 同理，任给一个样本平均数，只要知道该平均数之外的面积比例，就可以知道与此相应的 z 值 =2/2=1 P(z≥1）=0.1587 例2：已知μ=50，σ=10，从该总体随机抽取一个N=25的样本，问该 ≥52的概率为多少？ P(48≤X≤52)=P(-1≤z≤1)=2×0.34=68% 10.2.2 样本平均数的假设检验 例3 ：一所学校对四个班的教学进行为期一年的计算机阅读教学。已知测验的常模为μ=250，σ=50，一年后进行测验，从四个班随机抽查100人， =263，试问传统教学与计算机教学有无差异？ 1. H0:μ=μ0=250 ， 2. H1:μ≠250 3. 统计检验：因为σ已知，所以使用 z 检验 4. 显著性水平：α=0.01 双尾 5. 抽样分布：正态概率曲线 6. 拒绝H0的临界区间：| z |≥2.58 0.0049 0.4951 2.580 尾部 面积 Z 0.0099 0.4901 2.33 尾部 面积 Z 0.0250 0.4750 1.960 尾部 面积 Z 0.0505 0.4495 1.64 尾部 面积 Z 因为|z|2.58, 所以P0.01,拒绝H0，差异有统计学意义。所在四个班级平均分不同于250分的总体。犯错误的风险为0.01。 例3 ：一所学校对四个班的教学进行为期一年的计算机阅读教学。已知测验的常模为μ=250，σ=50，一年后进行测验，从四个班随机抽查100人， =263，试问传统教学与计算机教学有无差异？ 10.3 通过样本数据进行参数估计—点估计 人口普查中的资料可以获得总体信息，多数情况不能获得总体信息，尽管如此，我们仍然可以采用样本统计量推测总体参数。 实际工作中是抽取单一样本，利用样本统计量对总体进行的估计称为点估计。 已知方差 用方差描述样本的变异有没有问题？ 没有问题 再问：用方差估计总体方差有没有问题？ 答：有问题，一般地，样本方差估计总体方差是偏低的。 如果用大样本估计总体方差，得到的是无偏估计： σ2的无偏估计： 10-4 σ的无偏估计： 10-5 因此，平均数抽样分布的总体方差估计值： 10-6 平均数抽样分布的标准误： 10-7 或者 如果选择有偏S2 而非无偏估计，常常采用： 10-8 行为科学常常采用公式10-8 ，我们遵循这一公式 表10-1 温习平均数、方差和标准差的符号 S σ 标准差 S2 σ2 σ2 方差 μ ,μ0 平均数 样本统计量 (经验上的) 总体参数 (理论上的) 平均数抽样分布的无偏总体估计 (经验上的) 平均数的抽样分布参数 (理论上的) 图10-6 样本数据可以用来估计总体方差(σ2)的无偏估计 以及平均