[数学]计算机图形学4曲线和曲面造型.ppt

曲线和曲面造型 一. 曲面造型的发展 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表示、设计、显示和分析。 曲面造型起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师奠定其理论基础。如今已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。 1964年美国麻省理工学院的Coons提出给定封闭曲线的四条边界定义一块曲面的的曲面描述方法。这种方法存在形状控制与连接问题。 1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。该方法简单易用，而且解决了整体形状控制问题，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。Bezier方法仍存在连接问题和局部修改问题。 1974年提出了B样条方法，该方法继承了Bezier方法的一切优点，克服了Bezier方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题和连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。不能精确表示圆锥曲线及初等解析曲面，造成了产品几何定义的不唯一。曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。 1975年以来美国Syracuse大学的Versprille首次提出有理B样条(NURBS)方法。后来Piegl和Tiller等人的功绩，使NURBS 方法成为现代曲面造型中最为广泛流行的技术。 NURBS 方法可以精确地表示二次规则曲线曲面，实现了用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面。具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS曲线曲面。 国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准，将NURBS方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。 二. 曲线和曲面的理论基础 2.1 曲线的参数表示 2.3 曲线曲面的参数连续 在几何造型设计中，单一的曲线往往难以描述复杂的形状，形状复杂的曲线常采用若干段曲线组合而成，相邻的曲线段间的连接则满足某种连续性条件。 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲率连续。 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线具有Ck或k阶参数连续性。 2.4 曲线曲面的几何连续 曲线具有切向连续但不一定具有C1连续，具有曲率连续但不必一定具有C2连续。参数连续是对参数曲线连接光滑程度的过分限制，不能准确客观地反映参数曲线连续的光滑程度。引入了称为视觉连续性的几何连续性，K阶几何连续用GK表示。 若两曲线段在公共连接点处具有公共的单位切矢（即关于弧长的一阶导矢），则称它们在该点处具有一阶几何连续或G1连续性。若在该点处又具有公共的曲率矢（即关于弧长的二阶导矢），则称它们在该点处具有二阶几何连续性式G2连续 。 2.5 Bezier曲线 n次Bezier曲线用给定n+1个控制顶点D0，D1，…，Dn的表达式： 2.6 Bezier曲面 给定 个空间上顶点 ， 次 Bezier曲面定义为： 2.7 B样条曲线 给定n+1个控制顶点 ，k次B样条曲线表示为 2.8 B样条曲面 可以利用u、v两个不同参数方向上的B样条曲线构成张量积B样条曲面，一张B样条曲面由一组特征多边形网格或特征网格定义。 2.9 非均匀有理B样条（NURBS）曲线和曲面 非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Spline）简称为NURBS。 NURBS方法在CAGD领域获得了广泛的应用，在国际标准组织（ISO）颁布的工业产品几何标准STEP，规定自由曲线、曲面用NURBS表示。 在CAD/CAM领域，NURBS方法最重要的优点是其统一描述自由曲线、曲面和初等曲线、曲面的能力，因而，当几何形体同时存在自由曲线曲面和