[数学]高速公路路面质量的评价问题 国防科技大学 饶彬 孙蕾 唐荣富.doc

全国第四届研究生数学建模竞赛 题 目 高速公路路面质量的评价问题 摘 要 高速公路路面质量的评价问题本质上属于多元统计分析的内容，需要理清指标间、因素间以及指标与因素间的各项关系。本文首先对数据进行了预处理，包括异常值和缺失数据的修正以及数据的标准化处理。然后采用相关分析法、方差分析法、总体最小二乘技术、晶体分布法和主成分分析法对问题（1~5）进行了回答。 对于问题1，采用相关分析法分析了四个质量指标间的线性关系和非线性关系，得出了部分指标间具有弱线性相关性的结论。分析指出了指标间虽然有弱相关性但并不能给出一个确定的函数关系式，而且还带有一定的随机性。 对于问题2，首先分析了10个因素指标的信息存在较大的冗余性，采用相关分析，并结合总体最小二乘法拟合出了部分因素指标间的数学表达式。进一步分析得出只需测量其中的5个关键指标即可（参看P8页图6）。其次，按照一定的规则对这几个关键因素指标的试验水平划分等级。最后，采用多因子方差分析法检验各因素指标对质量指标的影响能力。结论见P13页图13。 对于问题3，首先阐明了压实度理论上界的物理背景与数学含义。其次结合数据和工程背景，将集料看成是由粗料和细料两个总体构成。进一步将粗细集料实体简化为标准球体，则压实度理论上界问题就可以归结为球体的装箱问题。文章给出了一种晶体分布法解决装箱问题，然后从理论上推导得出了压实度理论上界与集料级配比（即筛孔通过率）的关系，并结合数据给出了定量分析。 对于问题4，和问题二的处理方法类似，将沥青类型、碎石质量、生产厂家等因素分成简单的几个等级，前一个问采用单因子方差分析法进行处理，后一问涉及到两种影响因子，采用双因子方差分析法进行检验。结论参见P24~P27。 对于问题5，根据试验结果对建设部门提出了一些有用的建议。（1）因素指标的测量可以简化，只需要测试6个指标即可，分析了其理论依据；（2）提出了采用主成分分析法对高速公路的综合质量进行评估的方法。（3）分析了贝叶斯网络在处理高速公路路面质量评价问题的优缺点。 参赛队号 9000218 参赛学校 国防科技大学 参赛队员姓名 饶彬 孙蕾 唐荣富  1 问题重述 （略，参看原题） 2 问题分析 高速公路路面质量的设计问题具有非常重要的现实意义，一方面可以降低高速公路的运行成本，另外一方面可以保障运输任务的安全。设计任务的一个非常重要的问题是找出对高速公路路面质量有较大影响的因素以及评价高速公路路面质量的指标体系，另外还要分析因素与因素间、因素与指标间、以及指标与指标间的关系，才能根据分析结果找出较优的方案，改良设计任务，提高路面质量。但是由于我国建设高速公路的历史不长，对高速公路路面各因素的影响还不太了解，无法给出其解析的表达式，只能从试验数据或计算数据出发，从中挖掘规律，建立各种指标和影响因素的经验模型。 从本质上讲，高速公路路面质量的评价问题属于多元统计分析的内容。本题中涉及10个因素指标，4个质量评价指标和290组实验样本数据。由于数据来源于真实的测试数据，将不可避免的引入粗大误差（异常值）和随机误差，另外数据的量纲也不一致，因此首先应对数据进行预处理。又因为缺乏指标间和各种因素间的先验计算公式，在分析它们之间的关系时首先应该进行相关性检验，如果相关性显著，再采用总体最小二乘方法拟合参数。采用总体最小二乘算法的根据是设计矩阵和观测矩阵都带有随机误差，常规最小二乘算法估计精度不够。最后，题目中五个问题各有特点，决定了解决的方法也不同。 对于问题一，将4个评价指标当成是4个随机变量，采用相关分析法分析它们之间的线性相关关系，得出了部分指标间具有弱线性相关性的结论。并分析了描述指标与指标关系的困难性，也是说四个指标间并没有明确的函数关系，而是还带有一定的随机性。 对于问题二，本质上属于方差分析的内容。首先，因为10个因素指标之间具有较强的相关特性，信息的冗余性很大，本文采用相关分析，并结合总体最小二乘法拟合出了部分因素指标间的数学表达式。因此从理论上可以不需要测试10个因素指标，只需测量其中的5个关键指标即可。其次，按照一定的规则对这几个关键因素指标的试验水平划分等级。最后，考虑到质量指标同时受到多个因素指标的影响，因此不宜采用单因子方差分析法进行分析，而采用多因子方差分析法检验各因素指标对质量指标的影响能力。 对于问题三，首先阐明了压实度理论上界的物理过程与数学含义。其次结合实测数据和工程背景，将集料看成是由粗料和细料两个总体构成。如果将粗细集料实体简化为标准球体，则压实度理论上界问题就