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第七章 二阶电路 §7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-5 一般二阶电路 §7-4 GCL并联电路的分析 ? 本章内容概述 含有两个独立的动态元件的线性电路，要用线 性、常系数二阶微分方程来描述, 故称为二阶电路。 本章重点讨论含电感和电容的二阶电路的零输 入响应和在直流电源激励下的全响应。 为了简单起见，本章只讨论RLC串联和并联电 路的响应，响应是否出现振荡取决于特征根的值。 本章电路响应的分析是归结为求解二阶微分方 程或两个联立的一阶微分方程。 学习重点为：电路微分方程的建立；特征根的 意义，微分方程解答的物理含义等。 C + uC=U0 i=0 L – §7-1 LC 电路的正弦振荡 uL = uC = L — di dt uC(0) = U0 iL(0) = 0 ∵ uL= uC = U0 ≠0 uC = U0 iL = 0 di dt — ≠ 0 ∴ 电流开始上升 i↑, 电容开始放电 uC↓ (1) 初始时刻 C + uC i L + uL – – 1. LC 电路的物理分析 设电容的初始储能为： 电流最大 i = Im (2) 当uC = 0 ，uL = 0时， di dt —— = 0 电容储存的电场能量全部转化为电感储存的磁场能量, 因为电感电流不能跃变。 电感开始输出能量 i↓，电容开始反向充电 |uC |↑ (3) 当 i = 0 时 , uC = -U0 磁场能量全部转成电场能量 因为uC不能跃变， 电容放电 |uC |↓，| i |↑ duC dt —— ≠ 0 ∴ uC= 0 i= Im uL= 0 C + L – – + uC= -U0 i= 0 uL C + L – – + (4) 当uC = 0 时，i = – I 电场能量全部转成磁场能量 |uC |↑，| i |↓ (5) 当uC = U0 时 , i = 0 磁场能量全部转为电场能量， 电路回到初始时刻的状态。 C + uC = 0 L – i = - I uC= U0 i= 0 C + L – 设 L = 1H， C = 1F uC(0) = 1V iL(0) = 0 初始状态 列出描述电路的两个联立一阶微分方程。 2. LC电路的数学分析 设 L = 1H， C = 1F uC(0) = 1V iL(0) = 0 i = – C —— = – —— duC dt duC dt i t 0 i = sint LC 电路的零输入响应是按正弦规律变化的等幅振荡，称为自由振荡。 初始状态 列出描述电路的两个联立 一阶微分方程： 解微分方程，得 i = sint uC = cost uC = cost 0 t uC uC = L—— = —— di di dt dt C + uC i L + uL – – 2. LC电路的数学分析 i t 0 i = sint uC = cost 0 t uC C + uC i L + uL – – C i L R 解微分方程，得 i = sint uC = cost 电容元件中的电场能量一 部分转化为磁场能量，存储在 电感元件中；另一部分被电阻 元件消耗掉。 2. LC电路的数学分析 3. RLC电路的能量分析 §7-2? RLC串联电路的零输入响应 求零输入响应?? uS = 0 KVL： uL + uR+ uC = uS di dt L + Ri + uC = uS uC(0) = ? 两个初始条件 duC dt t=0 = i(t) C t=0 = i(0) C = ? L i R + uS - C + uC - 1. 列出 RLC电路的微分方程 i = C duC dt uL = L di dt VCR： 有 整理 + RC d2uC dt 2 LC duC dt + uC = uS + RC d2uC dt 2 LC duC dt + uC = 0 R、L、C 取值不同，根号里的值有四种不同情况。 设解为 uC(t) = Kest 代入微分方程 LCs2Kest + RCsKest + Kest = 0 ( LCs2 + RCs + 1 ) Kest = 0 特征方程的根（固有频率） 2L R = ? ± 2L R ( )2 LC 1 ? s1, 2 = RC ± (RC)2 ? 4LC 2LC ? + RC d2uC dt 2 L