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[物理]第二章 平面问题的基本理论

§2-1 平面应力问题和 平面应变问题 弹力空间问题共有应力、应变、位 移15个未知函数 ,且均为 ; 例如: §2-2 平衡微分方程 平面应力物理方程→平面应变物理方程: 思考题 1.试证:由主应力可以求出主应变, 且两者方向一致。 2.试证:三个主应力均为压应力,有 时可以产生拉裂现象。 3.试证:在自重作用下,圆环(平面 应力问题)比圆筒(平面应变问题)的 变形大。 例3 列出 的边界条件: 圣维南原理的应用: 1、推广解答的应用; 2、简化小边界上的边界条件。 上式是函数方程,要求在边界上任一点,应力与面力数值相等,方向一致,往往难以满足。 精确的应力边界条件 积分的应力边界条件 方程个数 2 3 方程性质 函数方程(难满足) 代数方程(易满足) 精确性 精确 近似 适用边界 大、小边界 小边界 思考题 1、为什么在大边界(主要边界)上,不能 应用 圣维南原理? 2、试列出负 面上积分的应力边界条件, 设有各 种面力作用,或面力的主矢量和主矩作用。 §2-8 按位移求解平面问题 ⑵ 平面应力问题 归纳: 按位移求解时, 、 必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)、(d)。 式(b)、(c)、(d)─是求解 、 的条件,也是校核 、 是否正确的全部条件。 按位移求解(位移法)的优缺点: 适用性广─可适用于任何边界条件。 求函数式解答困难,但在近似解法 (变分法、差分法、有限单元法)中有着广泛的应用。 例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a),只受重力作用, 。试用位移法求解。 §2-9按应力求解平面问题 §2-10 常体力情况下的简化  例题 例2 厚度 的悬臂梁,受一端的集中力F的作 用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答。 例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在 例4 在无体力情况下,试考虑下列应力分 量是否可能在弹性体中存在: (a)此组应力满足相容方程。为了满足平 衡微分方程,必须A=-F, D=-E 此外,还应满足应力边界条件。 (b)为了满足相容方程,其系数必须满足 A + B = 0。 为了满足平衡微分方程,其系数必须 满足 A = B =-C/2。 上两式是矛盾的,因此此组应力分量不 可能存在。 例5 若 是平面调和函数,即满足拉普 拉斯方程 试证明函数 都满 足重调和方程,因 而都可以作为应力函数使用。 例6 图中的梁,受到如图所示的荷载的作用,试用下列应力表达式求解其应力, 解:本题是按应力求解的,在应力法中,应力分量在单连体中必须满足 (1)平衡微分方程; (2)相容方程 ; (3)应力边界条件(在 上)。 将应力分量(a)代入平衡微分方程和相容方程,两者都能满足。 解:本题引用材料力学的弯应力 的解,作为初步的应力的假设,再按应力法求解。应力分量必须满足 (1)平衡微分方程; (2)相容方程; (3)应力边界条件(在 上)。 由此得 此式 和式(c)、(d)的一组应力分 量仍然满足平衡微分方程;再代入相容方 程,得 积分得 第二章 习题的提示与答案 2-1 是 2-2 是 2-3 按习题2-1分析。 2-4 按习题2-2分析。 2-5 在 的条件中,将出现二、 三阶微量。当略去三阶微量后,得 出的切应力互等定理完全相同。 2-6 同上题。在平面问题中,考虑到二 阶微量的精度时,所得出的平衡微 分方程都相同。

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