[理学]19排队论3.ppt

运筹学校级重点建设课程电子教案 §4.多服务台负指数分布排队系统的分析 单队、并列的多服务台（服务台数c），主要包括： 标准的M/M/c模型（M/M/c/∞/∞）； 系统容量有限制（M/M/c/N/∞）； 有限顾客源（M/M/c/∞/m）。 例4. 某售票所有三个窗口，一个队列形成M/M/C系统。顾客到达服从泊松流λ=0.9人/M，服务时间服从负指数分布，μ=0.4人/M，求： (1) 空闲的概率; (2) 平均队长Ls，Lq; (3) 平均等待时间和逗留时间Wq,Ws; (4)顾客到达后必须等待的概率. §4.2 M/M/C型系统和C个M/M/1型系统的比较 上面说的是M/M/C型系统，系统中只有一个队列，若C个服务台前各有一个队列，则是C个M/M/1系统的迭加（见下面图示），虽然这两种系统看上去相似，但其运行指标却有很大差别。 现仍以上面的例4进行分析。 如果除排队方式外，其它条件不变，顾客到达每个窗口前各排一队，且进入队列后坚持不换，这就形成了上面的队列，每个队列的平均到达率为 λ1=λ2=…=λc=λ/c=0.9/3= 0.3人/M。这样，原来的系统就变成了λ=0.3人/M的3个M/M/1型子系统，且相互独立。 按M/M/1以及M/M/c分别求解以下指标： 服务台空闲概率 顾客必须等待概率 平均队长 平均队列长 平均逗留时间 平均等待时间 §4.3 系统容量有限制的情形（M/M/C/N/∞） 设系统的容量最大限制为N(≥C）,当系统中顾客数n已达到N（即队列中的顾客数已达N-C）时，再来的顾客将被拒绝，其他条件与标准的M/M/C型相同。 　 此时的状态概率为： §4.4 顾客源为有限的情况（M/M/C/∞/m） 设顾客源为有限m,且mc，顾客到达率是按每个顾客考虑的。 在机器维修模型中，有m台机器，c个修理工，机器故障率就是每个机器单位运转时间出故障的期望次数，系统中顾客数n就是出故障的机器台数。 当n≤c时，无排队，有c-n个修理工空间；当cnm时，有 (n-c)台机器停机等待修理，系统处于繁忙状态。 假定：(1)每个服务台速率均为μ的负指数分布，（2）故障修复时间与正在生产的机器是否发生故障是相互独立的，则： §5 一般服务时间的（M/G/1）模型 本节我们研究服务时间任意分布的情形，我们知道，对任何情形下面的关系都正确： Ls=Lq+Lse (Lse--服务机构中顾客数的期望值) Ws=Wq+E[T] （E[T]--服务平均时间） Ls=λWs ， Lq=λWq 当然，对于有容量限制和有限源情形λ要换成λe. 这就是著名的P-K公式，只要知道λ,E[T], Var[T],无论T服从什么分布，各项运行指标都可算出来。 §5.2 定长服务时间 M/D/1模型 该情况的服务时间是确定的常数，如一条装配线上完成一件工作的时间是常数。则:T=1/μ Var[T]=0 Ls=ρ+ρ2/2(1-ρ) Lq=Ls-ρ= ρ2/2(1-ρ) Ws=L/λ=(2-ρ)/2μ(1-ρ) Wq=Lq/λ=ρ/2μ(1-ρ) 例5 某售票口，顾客平均2.5分钟到达一个，窗口对顾客的平均服务时间是2分钟,顾客在售票口前至少要占用1分钟，且服务时间服从：f(y)= e1-y y≥1 0 y1 求Ws, Wq §5.3 爱尔朗服务时间M/Ek/1模型 如图，若顾客必须经过k个服务站，在每个服务站的服务时间Ti相互独立，并服从相同的负指数分布（参数为kμ），那么 服从k阶爱尔朗分布。 §6 排队系统优化 排队系统优化问题分为两类：系统设计和系统控制优化。前者称为静态问题，即研究如何使设备达到最大效益或机构最为经济；后者称为动态问题，研究如何运营可使某个目标达到最优。本节我们只讨论静态问题。 从静态考虑，排队系统主要涉及两项费用：等待损失费用和服务费用。 §6.1 M/M/1 模型中的最优服务率? 1、标准的M/M/1 模型 设：Cs为μ=1时服务机构的单位时间费用，Cw为每个顾客单位时间等待费用。则单位时间成本z为: 2、系统容量为N的情形 该系统中顾客到达后在系统中超过N个时，将被拒绝，拒绝概率为PN ，则1-PN为接受概率，所以λ(1-PN)为单位时间内进入系统的顾客平均数，也是单位时间内实际服务的平均数。 λ(1-PN)=μ(1-P0). 设每服务一个顾客收入G元，于是单位时间收入期望值为λ(1-PN)G